Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 459

Условие (кратко)

Даны острый угол и его внутренняя точка A. Постройте на сторонах угла точки B и C так, чтобы периметр треугольника ABC был наименьшим.

Решение

Дано: острый угол с вершиной $$O$$ и сторонами $$a$$ , $$b$$ , точка $$A$$ внутри угла. Построить $B \in a$ , $C \in b$ с наименьшим периметром $\triangle ABC$ .

Построение.

Строим точку $$M$$ , симметричную $$A$$ относительно прямой $$a$$ , и точку $$K$$ , симметричную $$A$$ относительно $$b$$ (опускаем перпендикуляр и откладываем на его продолжении такой же отрезок).
Отрезок $$MK$$ пересекает стороны угла в точках $$B$$ (на $$a$$ ) и $$C$$ (на $$b$$ ).

Почему $$MK$$ пересекает стороны. При симметрии $$OM = OA = OK$$ , а $\angle MOK = 2\angle O < 180^\circ$ , так как угол острый. Стороны $$a$$ и $$b$$ — биссектрисы углов $$MOA$$ и $$AOK$$ , они лежат внутри угла $$MOK$$ , поэтому отрезок $$MK$$ пересекает обе стороны, причём в порядке $$M$$ , $$B$$ , $$C$$ , $$K$$ .

Доказательство. Прямая $$a$$ — серединный перпендикуляр к $$AM$$ , поэтому $$AB = MB$$ (и для любой точки $$a$$ ). Так же $$AC = KC$$ . Периметр $$AB + BC + CA = MB + BC + CK = MK$$ . Для любых других точек $B' \in a$ , $C' \in b$ :

AB' + B'C' + C'A = MB' + B'C' + C'K \ge MK,

так как ломаная не короче отрезка с теми же концами (неравенство треугольника). Равенство только тогда, когда

\(B'\)

,

\(C'\)

лежат на отрезке

\(MK\)

, то есть

\(B' = B\)

,

\(C' = C\)

.

Решение единственное.

Ответ

B и C — точки пересечения сторон угла с отрезком MK, где M и K симметричны A относительно сторон; наименьший периметр равен MK

Почему так

Симметрия относительно сторон угла превращает периметр в ломаную MBCK, а ломаная не короче отрезка MK.

Подробнее — в теме «Осевая симметрия».

Задание 459

Задача 1