Математика. 6 класс · Виленкин, Жохов, Чесноков · § 8

Упражнение 2.101 к § 8

§ 8. Наименьшее общее кратное натуральных чисел · тема: Наименьшее общее кратное

Задача 1

Условие (кратко)

(Задание для работы в группе.) а) Масло меняют каждые 15 тыс. км, приводной ремень — каждые 60 тыс. км. Через сколько тысяч километров замены совпадут?

Решение

Дано

масло — каждые 15 тыс. км
ремень — каждые 60 тыс. км

Найти

через сколько тысяч километров замены совпадут

Пробег до совпадения должен быть кратен и 15, и 60. Наименьшее такое число — НОК $$(15, 60)$$ .

$$60 : 15 = 4$$ , то есть 60 делится на 15, поэтому НОК $$(15, 60) = 60$$ .

Ответ

Через 60 тыс. км

Почему так

Совпадение замен наступает через пробег, равный наименьшему общему кратному 15 и 60.

Подробнее — в теме «Наименьшее общее кратное».

Задача 2

Условие (кратко)

(Задание для работы в группе.) б) Спутники Юпитера Ио, Европа, Ганимед и Каллисто обращаются вокруг него за 42, 85, 172 и 400 ч. За какое наименьшее время они все вместе повторят своё положение?

Решение

Дано

периоды обращения 42
85
172 и 400 ч

Найти

наименьшее время повторения положения всех спутников

Искомое время должно делиться на каждый из периодов, значит, это НОК $$(42, 85, 172, 400)$$ .

Разложим числа: $400 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$ , $172 = 2 \cdot 2 \cdot 43$ , $85 = 5 \cdot 17$ , $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ .

К множителям 400 добавляем недостающие: $$43$$ (из 172), $$17$$ (из 85), $$3$$ и $$7$$ (из 42):

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 43 \cdot 17 \cdot 3 \cdot 7 = 6\,140\,400.

Это 6 140 400 ч, то есть $6\,140\,400 : 24 = 255\,850$ суток — около 700 лет.

Ответ

За 6 140 400 ч

Почему так

Время повторения положения всех спутников — наименьшее общее кратное их периодов обращения.

Подробнее — в теме «Наименьшее общее кратное».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки