Математика. 6 класс · Виленкин, Жохов, Чесноков · § 8

Упражнение 2.99 к § 8

Задача 1

Условие (кратко)

а) Пары чисел: 9 и 13; 15 и 19; 24 и 35; 27 и 32. Являются ли числа в каждой паре взаимно простыми?

Решение

Разложим числа на простые множители:

$9 = 3 \cdot 3$ и $$13$$ — простое; общих множителей нет.

$15 = 3 \cdot 5$ и $$19$$ — простое; общих множителей нет.

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ и $35 = 5 \cdot 7$ ; общих множителей нет.

$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3$ и $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ ; общих множителей нет.

В каждой паре НОД равен 1, значит, числа взаимно простые.

Ответ

Да, во всех четырёх парах числа взаимно простые

Почему так

Числа взаимно простые, если в их разложениях на простые множители нет общих множителей, то есть НОД равен 1.

Условие (кратко)

б) Найти НОК чисел в каждой паре: 9 и 13; 15 и 19; 24 и 35; 27 и 32. Сделать предположение.

Решение

Общих множителей у чисел каждой пары нет, поэтому в НОК входят все множители обоих чисел:

НОК $(9, 13) = 3 \cdot 3 \cdot 13 = 117$ ;

НОК $(15, 19) = 3 \cdot 5 \cdot 19 = 285$ ;

НОК $(24, 35) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840$ ;

НОК $(27, 32) = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 864$ .

В каждом случае НОК равно произведению чисел: $9 \cdot 13 = 117$ , $15 \cdot 19 = 285$ , $24 \cdot 35 = 840$ , $27 \cdot 32 = 864$ .

Предположение: наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

Ответ

117; 285; 840; 864. НОК взаимно простых чисел равно их произведению

Почему так

У взаимно простых чисел нет общих простых множителей, поэтому в НОК входят все множители обоих чисел.