Физика, 9 класс

Задачи: Искусственные спутники Земли

Все задачи по теме — от базовых к сложным, с подсказками и решениями. Объяснение темы — на странице темы.

База

База Задача 1

У поверхности планеты ускорение свободного падения 3,7 м/с², а её радиус 2400 км. Какую скорость нужно сообщить телу, чтобы оно стало спутником планеты и двигалось по низкой круговой орбите?

Подсказка

Скорость спутника у самой поверхности — $v = \sqrt{g R}$ . Радиус переведите в метры.

Решение

Дано

$$g = 3{,}7$$ м/с²
$$R = 2400$$ км $= 2{,}4 \cdot 10^{6}$ м

Найти

$$v$$

$v = \sqrt{g R} = \sqrt{3{,}7 \cdot 2{,}4 \cdot 10^{6}} = \sqrt{8{,}88 \cdot 10^{6}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{3}$ м/с.

Это втрое меньше, чем у Земли, — планета маленькая и притягивает слабо.

Ответ

≈ 3,0 км/с

База Задача 2

Два спутника движутся вокруг Земли по круговым орбитам, один на высоте 300 км, другой на высоте 1000 км. У какого из них скорость больше? Ответ обоснуйте.

Подсказка

Посмотрите, где в формуле $v = \sqrt{\dfrac{G M}{R + h}}$ стоит высота — в числителе или в знаменателе.

Решение

Скорость спутника на круговой орбите $v = \sqrt{\dfrac{G M_З}{R_З + h}}$ . Высота $$h$$ стоит в знаменателе: чем она больше, тем меньше подкоренное выражение и тем меньше скорость. Значит, быстрее движется спутник на высоте 300 км.

Причина простая: выше притяжение слабее, и, чтобы «промахиваться» мимо Земли, спутнику достаточно меньшей скорости.

Ответ

У спутника на высоте 300 км

Средний

Средний Задача 3

Спутник движется по круговой орбите на высоте 1600 км над поверхностью Земли. Найдите его скорость. Масса Земли 6·10²⁴ кг, радиус Земли 6400 км.

Подсказка

Расстояние до центра Земли $$r = R_З + h$$ , а скорость $v = \sqrt{\dfrac{G M_З}{R_З + h}}$ .

Решение

Дано

$$h = 1600$$ км
$$R_З = 6400$$ км
$M_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг
$G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Найти

$$v$$

Радиус орбиты $$r = R_З + h = 6400 + 1600 = 8000$$ км $= 8 \cdot 10^{6}$ м.

$v = \sqrt{\dfrac{G M_З}{r}} = \sqrt{\dfrac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{8 \cdot 10^{6}}} = \sqrt{\dfrac{4{,}0 \cdot 10^{14}}{8 \cdot 10^{6}}} = \sqrt{5{,}0 \cdot 10^{7}} \approx 7{,}1 \cdot 10^{3}$ м/с.

Ответ

≈ 7,1 км/с

Средний Задача 4

Космический аппарат обращается вокруг Венеры по круговой орбите радиусом 6600 км со скоростью 7,0 км/с. Определите массу Венеры.

Подсказка

Возведите формулу $v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}}$ в квадрат и выразите массу.

Решение

Дано

$$r = 6600$$ км $= 6{,}6 \cdot 10^{6}$ м
$$v = 7{,}0$$ км/с $= 7{,}0 \cdot 10^{3}$ м/с
$G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Найти

$$M$$

Из $v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}}$ следует $v^2 = \dfrac{G M}{r}$ , откуда $M = \dfrac{v^2 r}{G}$ .

$M = \dfrac{(7{,}0 \cdot 10^{3})^2 \cdot 6{,}6 \cdot 10^{6}}{6{,}67 \cdot 10^{-11}} = \dfrac{4{,}9 \cdot 10^{7} \cdot 6{,}6 \cdot 10^{6}}{6{,}67 \cdot 10^{-11}} = \dfrac{3{,}23 \cdot 10^{14}}{6{,}67 \cdot 10^{-11}} \approx 4{,}8 \cdot 10^{24}$ кг.

Чуть меньше массы Земли — так и есть, Венера почти близнец нашей планеты.

Ответ

≈ 4,8·10²⁴ кг

Сложный

Сложный Задача 5

На какой высоте над поверхностью Земли спутник должен двигаться по круговой орбите, чтобы его скорость была вдвое меньше первой космической скорости у поверхности Земли? Радиус Земли 6400 км.

Подсказка

Запишите скорость у поверхности и на высоте $$h$$ через $$G M_З$$ и поделите одну на другую — масса Земли сократится.

Решение

Дано

$$R_З = 6400$$ км
$\dfrac{v_0}{v_h} = 2$

Найти

$$h$$

У поверхности $v_0 = \sqrt{\dfrac{G M_З}{R_З}}$ , на высоте $$h$$ : $v_h = \sqrt{\dfrac{G M_З}{R_З + h}}$ . Делим:

$\dfrac{v_0}{v_h} = \sqrt{\dfrac{R_З + h}{R_З}} = 2$ , значит $\dfrac{R_З + h}{R_З} = 4$ , то есть $$R_З + h = 4 R_З$$ и $h = 3 R_З = 19\,200$ км.

Скорость убывает как корень из расстояния, поэтому, чтобы уменьшить её вдвое, расстояние до центра Земли нужно увеличить в 4 раза.

Ответ

19 200 км (три радиуса Земли)

Сложный Задача 6

Космонавт, работающий снаружи орбитальной станции, выпустил из рук гаечный ключ. Упадёт ли ключ на Землю? Как он будет двигаться?

Подсказка

Вспомните, какая скорость была у ключа в момент, когда его отпустили.

Решение

Не упадёт. В момент, когда ключ отпустили, он двигался вместе со станцией — с той же скоростью, направленной по касательной к орбите, около 7,7 км/с. Это и есть скорость, нужная для движения по окружности на данной высоте. На ключ, как и на станцию, действует только сила тяжести, поэтому он продолжит двигаться по той же орбите — сам станет спутником Земли и будет лететь рядом со станцией.

Упасть на Землю ключ может, лишь если его скорость заметно уменьшится: например, из-за трения о разреженные остатки атмосферы за месяцы и годы.

Ответ

Не упадёт; будет двигаться по той же орбите рядом со станцией

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/fizika/9-klass/zakony-vzaimodejstviya-i-dvizheniya-tel/iskusstvennye-sputniki-zemli/zadachi/