Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Спутник — это тело, которое всё время падает на Землю, но летит вбок так быстро, что каждый раз «промахивается» мимо неё. Чтобы тело стало спутником и двигалось по окружности, ему нужно сообщить первую космическую скорость:
У поверхности Земли она равна примерно 7,9 км/с, а с высотой уменьшается.
Подробное объяснение
Почему камень падает, а спутник — нет
Бросьте камень с обрыва горизонтально — он пролетит несколько метров и упадёт. Бросьте сильнее — упадёт дальше. Ньютон довёл эту мысль до конца: если бросить камень с очень высокой горы с достаточно большой скоростью, он вообще не упадёт, а обогнёт всю Землю и вернётся к горе. Дело в том, что Земля круглая: пока камень «падает» вниз, поверхность под ним тоже уходит вниз. При подходящей скорости камень падает ровно настолько, насколько закругляется Земля, и всё время остаётся на одной и той же высоте. Такое тело и называют искусственным спутником Земли.
Что держит спутник на орбите
На спутник действует одна-единственная сила — сила тяжести. Двигатели ему не нужны: они работают лишь при запуске, чтобы поднять аппарат над атмосферой и разогнать его. Поэтому движение спутника — это свободное падение, только скорость направлена не вниз, а вбок, по касательной к орбите.
Сила тяжести направлена к центру Земли и сообщает спутнику ускорение свободного падения \(g\). При движении по окружности это ускорение играет роль центростремительного: оно не меняет модуль скорости, а только поворачивает её направление. Точно так же вокруг Земли движется её естественный спутник — Луна.
Первая космическая скорость
Вы уже знаете, что центростремительное ускорение при движении по окружности радиусом \(r\) равно \(a = \dfrac{v^2}{r}\). Для спутника это ускорение равно \(g\), поэтому
Здесь \(v\) — скорость спутника, м/с; \(g\) — ускорение свободного падения на орбите, м/с²; \(r\) — радиус орбиты, м. Расстояние \(r\) отсчитывают от центра Земли: \(r = R_З + h\), где \(R_З = 6400\) км — радиус Земли, \(h\) — высота орбиты над поверхностью.
Скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно двигалось по круговой орбите, называют первой космической (или круговой) скоростью.
Если высота мала по сравнению с радиусом Земли, то \(r \approx R_З\), \(g \approx 9{,}8\) м/с², и
7,9 км/с — почти 30 000 км/ч, в 25 раз быстрее пассажирского самолёта. Именно поэтому для запуска нужны ракеты.
Если высотой пренебречь нельзя, ускорение на орбите вычисляют по закону всемирного тяготения, \(g = G \dfrac{M_З}{(R_З + h)^2}\), и формула принимает вид
Высота стоит в знаменателе: чем выше орбита, тем меньше скорость. На высоте 300 км это 7,8 км/с, на высоте 500 км — 7,6 км/с. Подставив вместо \(M_З\) и \(R_З\) массу и радиус другой планеты, получите первую космическую скорость для неё.
Ниже 300 км спутники не запускают: там ещё есть воздух, и трение о него быстро тормозит аппарат.
Больше или меньше первой космической
Если скорость меньше первой космической, тело опишет дугу и упадёт на Землю. Если больше — орбита вытянется в эллипс, и чем больше скорость, тем сильнее. А при скорости 11,2 км/с — второй космической — тело преодолевает притяжение Земли и уходит в космос.
Первый искусственный спутник Земли запустили в СССР 4 октября 1957 года, а 12 апреля 1961 года Юрий Гагарин совершил первый полёт человека в космос.
Как решать задачи
- Выясните, что известно: ускорение \(g\) на орбите и радиус орбиты — тогда \(v = \sqrt{g r}\); масса планеты, её радиус и высота — тогда \(v = \sqrt{G \dfrac{M}{R + h}}\).
- Радиус орбиты — всегда от центра планеты: \(r = R + h\). Не подставляйте одну высоту.
- Переведите всё в СИ: километры — в метры.
- Считайте выражение под корнем целиком, и только потом извлекайте корень.
- В обратных задачах возведите формулу в квадрат: \(v^2 = g r\), откуда \(r = \dfrac{v^2}{g}\), \(g = \dfrac{v^2}{r}\), \(M = \dfrac{v^2 r}{G}\).
- Проверьте: для околоземных орбит скорость 6–8 км/с; для планет меньше Земли — меньше.
Разобранные примеры
Скорость по ускорению на орбите
Орбитальная станция движется по круговой орбите радиусом 6800 км. Ускорение свободного падения на этой высоте 8,7 м/с². Найдите скорость станции.
- \(r = 6800\) км \(= 6{,}8 \cdot 10^{6}\) м
- \(g = 8{,}7\) м/с²
- \(v\)
Радиус орбиты уже отсчитан от центра Земли, ускорение на орбите известно — подставляем в формулу:
\(v = \sqrt{g r} = \sqrt{8{,}7 \cdot 6{,}8 \cdot 10^{6}} = \sqrt{5{,}9 \cdot 10^{7}} \approx 7{,}7 \cdot 10^{3}\) м/с.
Ответ разумный: чуть меньше 7,9 км/с, потому что станция летит выше поверхности, где притяжение слабее.
Спутник Марса
Масса Марса \(6{,}4 \cdot 10^{23}\) кг, радиус 3400 км. Какую скорость нужно сообщить телу, чтобы оно стало спутником Марса на низкой орбите?
- \(M = 6{,}4 \cdot 10^{23}\) кг
- \(R = 3400\) км \(= 3{,}4 \cdot 10^{6}\) м
- \(G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\) Н·м²/кг²
- \(v\)
Ускорение свободного падения на Марсе неизвестно, зато есть масса и радиус — берём формулу с \(G\). Орбита низкая, \(h \approx 0\):
\(v = \sqrt{G \dfrac{M}{R}} = \sqrt{\dfrac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6{,}4 \cdot 10^{23}}{3{,}4 \cdot 10^{6}}} = \sqrt{\dfrac{4{,}27 \cdot 10^{13}}{3{,}4 \cdot 10^{6}}} = \sqrt{1{,}26 \cdot 10^{7}} \approx 3{,}5 \cdot 10^{3}\) м/с.
Марс легче Земли в десять раз, поэтому и удержаться на орбите вокруг него проще — скорость нужна вдвое меньше.
Высота по скорости
На какой высоте над поверхностью Земли спутник движется по круговой орбите со скоростью 5 км/с? Масса Земли \(6 \cdot 10^{24}\) кг, радиус 6400 км.
- \(v = 5\) км/с \(= 5 \cdot 10^{3}\) м/с
- \(M_З = 6 \cdot 10^{24}\) кг
- \(R_З = 6400\) км
- \(G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\) Н·м²/кг²
- \(h\)
Из \(v = \sqrt{G \dfrac{M_З}{r}}\) возводим в квадрат: \(v^2 = G \dfrac{M_З}{r}\), откуда радиус орбиты
\(r = \dfrac{G M_З}{v^2} = \dfrac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{(5 \cdot 10^{3})^2} = \dfrac{4{,}0 \cdot 10^{14}}{2{,}5 \cdot 10^{7}} = 1{,}6 \cdot 10^{7}\) м \(= 16\,000\) км.
Это расстояние от центра Земли. Высота над поверхностью: \(h = r - R_З = 16\,000 - 6400 = 9600\) км.
Типичные ошибки
В формулах \(v = \sqrt{g r}\) и \(v = \sqrt{G \dfrac{M}{r}}\) величина \(r\) — расстояние до центра Земли. Ученик берёт \(r = 300\) км для спутника на высоте 300 км и получает скорость в несколько раз меньше настоящей: спутник с такой скоростью просто упал бы.
К высоте всегда прибавляйте радиус Земли: \(r = R_З + h = 6400 + 300 = 6700\) км. И наоборот: если из формулы нашли \(r\), а спрашивают высоту, вычтите \(R_З\).
\(g\) дано в м/с², а радиус — в километрах. Если подставить \(r = 6400\) вместо \(6{,}4 \cdot 10^{6}\), под корнем окажется число в миллион раз меньше, а ответ — в тысячу раз меньше: 7,9 м/с вместо 7,9 км/с. Скорость пешехода для спутника — явный признак ошибки.
Перед подстановкой переведите всё в СИ: 6400 км \(= 6{,}4 \cdot 10^{6}\) м. Ответ получится в м/с; при желании переведите его в км/с, разделив на 1000.
Значение 9,8 м/с² верно только у поверхности Земли. На высоте нескольких тысяч километров притяжение заметно слабее, и, подставив 9,8, ученик завышает скорость.
Если высота мала по сравнению с 6400 км (сотни километров), брать \(g = 9{,}8\) м/с² можно. Если высота сравнима с радиусом Земли — используйте формулу \(v = \sqrt{G \dfrac{M_З}{R_З + h}}\), в которую уменьшение притяжения с высотой уже заложено.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Что удерживает искусственный спутник на орбите вокруг Земли?
Показать ответ
Ответ: А) Сила тяжести
Спутник движется под действием одной силы тяжести — она сообщает ему центростремительное ускорение и всё время «заворачивает» скорость к Земле.
-
Какие утверждения о движении спутника по круговой орбите верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Движение спутника — это свободное падение; Б) Чем выше орбита, тем меньше скорость спутника; Г) Скорость спутника направлена по касательной к орбите
Спутник движется только под действием силы тяжести (это свободное падение), скорость направлена по касательной, а с высотой она убывает, \(v = \sqrt{\dfrac{G M}{R + h}}\). Сила тяжести на орбите действует — иначе спутник улетел бы по прямой.
-
У поверхности планеты ускорение свободного падения 2,5 м/с², радиус планеты 1000 км. Чему равна первая космическая скорость у её поверхности? Ответ дайте в км/с с точностью до сотых.
Показать ответ
Ответ: 1,58
\(v = \sqrt{g R} = \sqrt{2{,}5 \cdot 10^{6}} \approx 1580\) м/с \(= 1{,}58\) км/с.
-
Телу на высоте 300 км сообщили горизонтальную скорость больше первой космической, но меньше второй. Как оно будет двигаться?
Показать ответ
Ответ: В) По эллипсу вокруг Земли
При скорости выше первой космической орбита вытягивается в эллипс; уйти от Земли тело сможет только при второй космической скорости, 11,2 км/с.
-
Радиус круговой орбиты спутника увеличили в 4 раза. Во сколько раз уменьшилась его скорость?
Показать ответ
Ответ: 2
Скорость обратно пропорциональна корню из радиуса орбиты, \(v \sim \dfrac{1}{\sqrt{r}}\), а \(\sqrt{4} = 2\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
У поверхности планеты ускорение свободного падения 3,7 м/с², а её радиус 2400 км. Какую скорость нужно сообщить телу, чтобы оно стало спутником планеты и двигалось по низкой круговой орбите?
Подсказка
Скорость спутника у самой поверхности — \(v = \sqrt{g R}\). Радиус переведите в метры.
Решение
- \(g = 3{,}7\) м/с²
- \(R = 2400\) км \(= 2{,}4 \cdot 10^{6}\) м
- \(v\)
\(v = \sqrt{g R} = \sqrt{3{,}7 \cdot 2{,}4 \cdot 10^{6}} = \sqrt{8{,}88 \cdot 10^{6}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{3}\) м/с.
Это втрое меньше, чем у Земли, — планета маленькая и притягивает слабо.
Ответ
Два спутника движутся вокруг Земли по круговым орбитам, один на высоте 300 км, другой на высоте 1000 км. У какого из них скорость больше? Ответ обоснуйте.
Подсказка
Посмотрите, где в формуле \(v = \sqrt{\dfrac{G M}{R + h}}\) стоит высота — в числителе или в знаменателе.
Решение
Скорость спутника на круговой орбите \(v = \sqrt{\dfrac{G M_З}{R_З + h}}\). Высота \(h\) стоит в знаменателе: чем она больше, тем меньше подкоренное выражение и тем меньше скорость. Значит, быстрее движется спутник на высоте 300 км.
Причина простая: выше притяжение слабее, и, чтобы «промахиваться» мимо Земли, спутнику достаточно меньшей скорости.
Ответ
Спутник движется по круговой орбите на высоте 1600 км над поверхностью Земли. Найдите его скорость. Масса Земли 6·10²⁴ кг, радиус Земли 6400 км.
Подсказка
Расстояние до центра Земли \(r = R_З + h\), а скорость \(v = \sqrt{\dfrac{G M_З}{R_З + h}}\).
Решение
- \(h = 1600\) км
- \(R_З = 6400\) км
- \(M_З = 6 \cdot 10^{24}\) кг
- \(G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\) Н·м²/кг²
- \(v\)
Радиус орбиты \(r = R_З + h = 6400 + 1600 = 8000\) км \(= 8 \cdot 10^{6}\) м.
\(v = \sqrt{\dfrac{G M_З}{r}} = \sqrt{\dfrac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{8 \cdot 10^{6}}} = \sqrt{\dfrac{4{,}0 \cdot 10^{14}}{8 \cdot 10^{6}}} = \sqrt{5{,}0 \cdot 10^{7}} \approx 7{,}1 \cdot 10^{3}\) м/с.
Ответ
Космический аппарат обращается вокруг Венеры по круговой орбите радиусом 6600 км со скоростью 7,0 км/с. Определите массу Венеры.
Подсказка
Возведите формулу \(v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}}\) в квадрат и выразите массу.
Решение
- \(r = 6600\) км \(= 6{,}6 \cdot 10^{6}\) м
- \(v = 7{,}0\) км/с \(= 7{,}0 \cdot 10^{3}\) м/с
- \(G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\) Н·м²/кг²
- \(M\)
Из \(v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}}\) следует \(v^2 = \dfrac{G M}{r}\), откуда \(M = \dfrac{v^2 r}{G}\).
\(M = \dfrac{(7{,}0 \cdot 10^{3})^2 \cdot 6{,}6 \cdot 10^{6}}{6{,}67 \cdot 10^{-11}} = \dfrac{4{,}9 \cdot 10^{7} \cdot 6{,}6 \cdot 10^{6}}{6{,}67 \cdot 10^{-11}} = \dfrac{3{,}23 \cdot 10^{14}}{6{,}67 \cdot 10^{-11}} \approx 4{,}8 \cdot 10^{24}\) кг.
Чуть меньше массы Земли — так и есть, Венера почти близнец нашей планеты.
Ответ
На какой высоте над поверхностью Земли спутник должен двигаться по круговой орбите, чтобы его скорость была вдвое меньше первой космической скорости у поверхности Земли? Радиус Земли 6400 км.
Подсказка
Запишите скорость у поверхности и на высоте \(h\) через \(G M_З\) и поделите одну на другую — масса Земли сократится.
Решение
- \(R_З = 6400\) км
- \(\dfrac{v_0}{v_h} = 2\)
- \(h\)
У поверхности \(v_0 = \sqrt{\dfrac{G M_З}{R_З}}\), на высоте \(h\): \(v_h = \sqrt{\dfrac{G M_З}{R_З + h}}\). Делим:
\(\dfrac{v_0}{v_h} = \sqrt{\dfrac{R_З + h}{R_З}} = 2\), значит \(\dfrac{R_З + h}{R_З} = 4\), то есть \(R_З + h = 4 R_З\) и \(h = 3 R_З = 19\,200\) км.
Скорость убывает как корень из расстояния, поэтому, чтобы уменьшить её вдвое, расстояние до центра Земли нужно увеличить в 4 раза.
Ответ
Космонавт, работающий снаружи орбитальной станции, выпустил из рук гаечный ключ. Упадёт ли ключ на Землю? Как он будет двигаться?
Подсказка
Вспомните, какая скорость была у ключа в момент, когда его отпустили.
Решение
Не упадёт. В момент, когда ключ отпустили, он двигался вместе со станцией — с той же скоростью, направленной по касательной к орбите, около 7,7 км/с. Это и есть скорость, нужная для движения по окружности на данной высоте. На ключ, как и на станцию, действует только сила тяжести, поэтому он продолжит двигаться по той же орбите — сам станет спутником Земли и будет лететь рядом со станцией.
Упасть на Землю ключ может, лишь если его скорость заметно уменьшится: например, из-за трения о разреженные остатки атмосферы за месяцы и годы.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Привяжите к нитке ластик и раскрутите над головой: ластик летит по кругу, а нитка всё время тянет его к руке. Нитка — это сила тяжести, рука — Земля. Отпустите нитку — ластик улетит по прямой; значит, без притяжения спутник не удержался бы на орбите. Потом попросите ребёнка представить, как бросают мяч с высокой горы всё сильнее и сильнее: он падает всё дальше, и наконец, при скорости около 8 км/с, «падает» за горизонт и обходит всю Землю. Ключевая мысль: спутник падает всё время, но так быстро летит вбок, что не может упасть.
Вопросы для проверки понимания: 1. Действует ли на спутник сила тяжести? Если да, почему он не падает? 2. Какому спутнику нужна большая скорость — на высоте 300 км или 3000 км? 3. Что подставлять в формулу для спутника на высоте 500 км: 500 км или 6900 км?
На что обратить внимание. Самое частое заблуждение — что «в космосе нет гравитации». На высоте станции притяжение лишь на десять процентов слабее, чем на Земле; невесомость возникает потому, что станция и всё в ней падают вместе. В задачах следите за двумя вещами: расстояние берётся от центра Земли и все километры переводятся в метры.