Все задачи по теме — от базовых к сложным, с подсказками и решениями. Объяснение темы — на странице темы.
База
БазаЗадача 1
Пешеход прошёл 300 м на восток, а затем 400 м на север. Найдите пройденный путь и модуль перемещения.
Подсказка
Путь — сумма длин участков, а перемещение — отрезок из начальной точки в конечную; два участка перпендикулярны.
Решение
Дано
\(l_1 = 300\) м
\(l_2 = 400\) м
участки перпендикулярны
Найти
\(l\)
\(s\)
Путь: \(l = l_1 + l_2 = 300 + 400 = 700\) м.
Перемещение — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 300 м и 400 м: \(s = \sqrt{300^2 + 400^2} = \sqrt{250\,000} = 500\) м.
Ответ
путь 700 м, модуль перемещения 500 м
БазаЗадача 2
Мяч подбросили вертикально вверх на высоту 3 м и поймали в той же точке, откуда бросали. Чему равны путь мяча и модуль его перемещения?
Подсказка
Мяч вернулся туда же, откуда стартовал.
Решение
Дано
\(h = 3\) м
Найти
\(l\)
\(s\)
Путь складывается из подъёма и спуска: \(l = 2h = 2 \cdot 3 = 6\) м.
Начальная и конечная точки совпадают, поэтому вектор перемещения нулевой: \(s = 0\).
Ответ
путь 6 м, перемещение 0
Средний
СреднийЗадача 3
Велосипедист проехал по прямой дороге 6 км на север, развернулся и проехал 8 км на юг. Найдите путь, модуль перемещения и укажите его направление.
Подсказка
Участки лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны.
Решение
Дано
\(l_1 = 6\) км на север
\(l_2 = 8\) км на юг
Найти
\(l\)
\(s\)
направление \(\vec{s}\)
Путь: \(l = l_1 + l_2 = 6 + 8 = 14\) км.
Перемещение: велосипедист сначала ушёл на 6 км к северу, потом на 8 км к югу — итог на 2 км южнее старта: \(s = |l_1 - l_2| = |6 - 8| = 2\) км, направление — на юг.
Ответ
путь 14 км, перемещение 2 км на юг
СреднийЗадача 4
Карусель радиусом 10 м сделала половину оборота. Найдите путь, пройденный ребёнком на краю карусели, и модуль его перемещения. Число π примите равным 3,14.
Подсказка
За половину оборота точка проходит половину длины окружности и оказывается на противоположном конце диаметра.
Решение
Дано
\(R = 10\) м
половина оборота
Найти
\(l\)
\(s\)
Путь — половина длины окружности: \(l = \pi R = 3{,}14 \cdot 10 = 31{,}4\) м.
Перемещение соединяет две противоположные точки окружности, то есть равно диаметру: \(s = 2R = 20\) м.
Ответ
путь 31,4 м, модуль перемещения 20 м
Сложный
СложныйЗадача 5
Турист прошёл 5 км на север, затем 3 км на восток, затем 1 км на юг. Найдите пройденный путь и модуль перемещения.
Подсказка
Сложите отдельно смещения вдоль направления север — юг и вдоль направления запад — восток, затем примените теорему Пифагора.
Решение
Дано
\(l_1 = 5\) км (север)
\(l_2 = 3\) км (восток)
\(l_3 = 1\) км (юг)
Найти
\(l\)
\(s\)
Путь: \(l = 5 + 3 + 1 = 9\) км.
Итоговое смещение к северу: \(5 - 1 = 4\) км. Смещение к востоку: \(3\) км. Эти два смещения перпендикулярны, поэтому \(s = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\) км.
Ответ
путь 9 км, модуль перемещения 5 км
СложныйЗадача 6
Может ли модуль перемещения оказаться больше пути? Может ли путь быть равен нулю, если перемещение не равно нулю? В каком единственном случае модуль перемещения равен пути? Ответы обоснуйте.
Решение
Модуль перемещения — длина отрезка между начальной и конечной точками, а путь — длина траектории между ними. Отрезок — кратчайшая линия между двумя точками, поэтому путь не может быть меньше модуля перемещения: \(s \le l\).
Если путь равен нулю, тело вообще не сдвигалось, значит, начальная и конечная точки совпадают и перемещение тоже нулевое. Обратное неверно: при нулевом перемещении путь может быть любым.
Равенство \(s = l\) достигается, только когда траектория — отрезок прямой и тело всё время движется в одну сторону, не разворачиваясь.
Ответ
нет; нет; при прямолинейном движении без изменения направления