Что такое перемещение тела?

Вектор из начального положения тела в конечное

Длина траектории, которую прошло тело

Расстояние от тела до начала координат

Время движения тела по траектории

Какие утверждения верны?

Путь — скалярная величина

Перемещение — векторная величина

Перемещение может быть равно нулю при ненулевом пути

Модуль перемещения всегда равен пути

В каком случае модуль перемещения равен пройденному пути?

При движении по прямой в одном направлении

Только при движении по окружности

Перемещение — 9 класс, физика: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Материальная точка. Система отсчёта

Коротко о главном

Путь — это длина траектории, скаляр. Перемещение — вектор из начальной точки в конечную; у него есть и модуль, и направление. Зная начальное положение и перемещение, можно найти, где тело оказалось; зная только путь — нельзя.

s \le l

Здесь $$s$$ — модуль перемещения, $$l$$ — путь; равенство достигается только при движении по прямой в одну сторону.

Подробное объяснение

Почему пути недостаточно

Представьте, что друг пишет вам: «Я вышел из школы и прошёл 2 км». Где он сейчас? Ответить невозможно. Он мог уйти на 2 км в сторону парка, а мог дойти до магазина за километр и вернуться к школе. Даже если 2 км он прошёл честно, положение его неизвестно.

Величина «путь», которой мы пользовались в 7 классе, отвечает только на вопрос «сколько намотал», но не «куда попал». А для навигатора, диспетчера аэропорта или расчёта полёта ракеты нужно именно второе. Поэтому вводят новую величину — перемещение.

Что такое перемещение

Перемещение тела — это вектор, который соединяет начальное положение тела с его конечным положением. Обозначается $\vec{s}$ — та же буква, что у пути, но со стрелкой.

Если бы друг написал «я прошёл 2 км на север от школы», вы бы сразу поставили точку на карте. Направление плюс длина — это и есть вектор перемещения.

Тело движется из точки A в точку B по извилистой серой кривой — это траектория, её длина равна пути. Те же точки соединяет прямая синяя стрелка из A в B — вектор перемещения. Стрелка заметно короче кривой. — Путь — длина всей траектории, перемещение — прямая стрелка из начальной точки в конечную.

Что важно запомнить:

Путь $$l$$ — скаляр, только число. Складывается из длин всех участков траектории, как показания счётчика в автомобиле.
Перемещение $\vec{s}$ — вектор. Определяется двумя вещами: модулем $$s$$ (длиной отрезка между началом и концом) и направлением.
Форма траектории на перемещение не влияет. Как бы тело ни петляло, перемещение зависит только от того, откуда и куда оно пришло.

Обе величины измеряются в метрах (м) в СИ; в задачах встречаются километры, сантиметры — как удобнее.

Как связаны путь и перемещение

Отрезок прямой — кратчайшая линия между двумя точками. Значит, путь никогда не бывает меньше модуля перемещения: $s \le l$ .

Три случая, которые полезно держать в голове:

Тело едет по прямой в одну сторону — путь и модуль перемещения равны. Это единственный такой случай.
Тело поворачивает или движется по кривой — модуль перемещения меньше пути.
Тело вернулось в исходную точку — путь может быть большим, а перемещение равно нулю. Полный круг стадиона, дорога в школу и обратно, мяч, подброшенный и пойманный на той же высоте, — везде $\vec{s} = 0$ .

Как решать задачи

Нарисуйте схему: отметьте начальную точку, изобразите каждый участок движения стрелкой нужной длины и направления.
Путь — сложите длины всех участков. Направление при этом не важно.
Перемещение — соедините начальную точку с конечной одним отрезком. Это и есть вектор $\vec{s}$ .
Найдите модуль $$s$$ . Если участки лежат на одной прямой — сложите смещения в одну сторону и вычтите смещения в обратную. Если участки перпендикулярны — используйте теорему Пифагора.
Укажите направление перемещения словами («на юг», «на северо-восток») или углом.
Проверьте: модуль перемещения не должен получиться больше пути.

Разобранные примеры

База

Собака бежит туда и обратно

Условие

Собака пробежала по прямой аллее 40 м на восток за палкой, схватила её и вернулась на 15 м обратно к хозяину. Найдите путь собаки и её перемещение.

Дано

$$l_1 = 40$$ м на восток
$$l_2 = 15$$ м на запад

Найти

$$l$$
$\vec{s}$

Решение

Путь — сумма длин участков: $$l = 40 + 15 = 55$$ м.

Перемещение: собака ушла на 40 м к востоку и вернулась на 15 м, значит, оказалась на $$40 - 15 = 25$$ м восточнее старта. Модуль перемещения $$s = 25$$ м, направление — на восток.

Ответ: путь 55 м, перемещение 25 м на восток

Средний

Дрон летит «уголком»

Условие

Дрон пролетел 30 м на север, затем повернул и пролетел 40 м на восток. Найдите путь и модуль перемещения дрона.

Дано

$$l_1 = 30$$ м
$$l_2 = 40$$ м
участки перпендикулярны

Найти

$$l$$
$$s$$

Решение

Путь: $$l = 30 + 40 = 70$$ м.

Начальная точка, точка поворота и конечная точка образуют прямоугольный треугольник с катетами 30 м и 40 м. Перемещение — его гипотенуза:

s = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \text{ м}.

Направление — на северо-восток, ближе к востоку. Проверка: $$50 < 70$$ , всё верно.

Ответ: путь 70 м, модуль перемещения 50 м

Сложный

Лыжник на полукруглом повороте

Условие

Лыжник прошёл поворот трассы в форме полуокружности радиусом 50 м. Во сколько раз путь на этом участке больше модуля перемещения? Число π примите равным 3,14.

Дано

$$R = 50$$ м
траектория — полуокружность

Найти

$$l / s$$

Решение

Путь — половина длины окружности: $l = \pi R = 3{,}14 \cdot 50 = 157$ м.

Начало и конец полуокружности — концы одного диаметра, поэтому модуль перемещения равен диаметру: $$s = 2R = 100$$ м.

Отношение: $\dfrac{l}{s} = \dfrac{\pi R}{2R} = \dfrac{\pi}{2} = 1{,}57$ .

Заметьте: ответ не зависит от радиуса — для любого полукруга путь в $\pi/2$ раза больше модуля перемещения.

Ответ: в 1,57 раза

Типичные ошибки

Складывают длины участков и называют это перемещением

Почему неверно

Сумма длин участков — это путь. Перемещение зависит только от начальной и конечной точек, а не от того, как тело между ними двигалось. Если человек прошёл 3 км на север и 4 км на восток, его перемещение — не 7 км, а 5 км.

Как правильно

Нарисуйте участки на схеме и соедините начало с концом одним отрезком. Длину этого отрезка ищите геометрически: на одной прямой — вычитанием, для перпендикулярных участков — по теореме Пифагора.

Пишут в ответе только число, без направления

Почему неверно

Перемещение — вектор. Ответ «перемещение 25 м» неполный: зная только модуль, положение тела найти нельзя, тело может быть в любой точке окружности радиусом 25 м вокруг старта.

Как правильно

Если в задаче спрашивают перемещение, указывайте и модуль, и направление: «25 м на восток». Если спрашивают только модуль перемещения — достаточно числа.

Считают, что нулевое перемещение означает отсутствие движения

Почему неверно

Нулевое перемещение говорит лишь о том, что тело вернулось в начальную точку. При этом путь может быть каким угодно: бегун за 400 м круга изрядно устал, хотя его перемещение равно нулю.

Как правильно

Разделяйте вопросы «сколько прошло» (путь) и «куда попало» (перемещение). При замкнутой траектории путь равен длине траектории, а перемещение — нулю.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Пешеход прошёл 300 м на восток, а затем 400 м на север. Найдите пройденный путь и модуль перемещения.

Подсказка

Путь — сумма длин участков, а перемещение — отрезок из начальной точки в конечную; два участка перпендикулярны.

Решение

Дано

$$l_1 = 300$$ м
$$l_2 = 400$$ м
участки перпендикулярны

Найти

$$l$$
$$s$$

Путь: $$l = l_1 + l_2 = 300 + 400 = 700$$ м.

Перемещение — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 300 м и 400 м: $s = \sqrt{300^2 + 400^2} = \sqrt{250\,000} = 500$ м.

Ответ

путь 700 м, модуль перемещения 500 м

База Задача 2

Мяч подбросили вертикально вверх на высоту 3 м и поймали в той же точке, откуда бросали. Чему равны путь мяча и модуль его перемещения?

Подсказка

Мяч вернулся туда же, откуда стартовал.

Решение

Дано

$$h = 3$$ м

Найти

$$l$$
$$s$$

Путь складывается из подъёма и спуска: $l = 2h = 2 \cdot 3 = 6$ м.

Начальная и конечная точки совпадают, поэтому вектор перемещения нулевой: $$s = 0$$ .

Ответ

путь 6 м, перемещение 0

Средний Задача 3

Велосипедист проехал по прямой дороге 6 км на север, развернулся и проехал 8 км на юг. Найдите путь, модуль перемещения и укажите его направление.

Подсказка

Участки лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны.

Решение

Дано

$$l_1 = 6$$ км на север
$$l_2 = 8$$ км на юг

Найти

$$l$$
$$s$$
направление $\vec{s}$

Путь: $$l = l_1 + l_2 = 6 + 8 = 14$$ км.

Перемещение: велосипедист сначала ушёл на 6 км к северу, потом на 8 км к югу — итог на 2 км южнее старта: $$s = |l_1 - l_2| = |6 - 8| = 2$$ км, направление — на юг.

Ответ

путь 14 км, перемещение 2 км на юг

Средний Задача 4

Карусель радиусом 10 м сделала половину оборота. Найдите путь, пройденный ребёнком на краю карусели, и модуль его перемещения. Число π примите равным 3,14.

Подсказка

За половину оборота точка проходит половину длины окружности и оказывается на противоположном конце диаметра.

Решение

Дано

$$R = 10$$ м
половина оборота

Найти

$$l$$
$$s$$

Путь — половина длины окружности: $l = \pi R = 3{,}14 \cdot 10 = 31{,}4$ м.

Перемещение соединяет две противоположные точки окружности, то есть равно диаметру: $$s = 2R = 20$$ м.

Ответ

путь 31,4 м, модуль перемещения 20 м

Сложный Задача 5

Турист прошёл 5 км на север, затем 3 км на восток, затем 1 км на юг. Найдите пройденный путь и модуль перемещения.

Подсказка

Сложите отдельно смещения вдоль направления север — юг и вдоль направления запад — восток, затем примените теорему Пифагора.

Решение

Дано

$$l_1 = 5$$ км (север)
$$l_2 = 3$$ км (восток)
$$l_3 = 1$$ км (юг)

Найти

$$l$$
$$s$$

Путь: $$l = 5 + 3 + 1 = 9$$ км.

Итоговое смещение к северу: $$5 - 1 = 4$$ км. Смещение к востоку: $$3$$ км. Эти два смещения перпендикулярны, поэтому $s = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$ км.

Ответ

путь 9 км, модуль перемещения 5 км

Сложный Задача 6

Может ли модуль перемещения оказаться больше пути? Может ли путь быть равен нулю, если перемещение не равно нулю? В каком единственном случае модуль перемещения равен пути? Ответы обоснуйте.

Решение

Модуль перемещения — длина отрезка между начальной и конечной точками, а путь — длина траектории между ними. Отрезок — кратчайшая линия между двумя точками, поэтому путь не может быть меньше модуля перемещения: $s \le l$ .

Если путь равен нулю, тело вообще не сдвигалось, значит, начальная и конечная точки совпадают и перемещение тоже нулевое. Обратное неверно: при нулевом перемещении путь может быть любым.

Равенство $$s = l$$ достигается, только когда траектория — отрезок прямой и тело всё время движется в одну сторону, не разворачиваясь.

Ответ

нет; нет; при прямолинейном движении без изменения направления

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист бумаги и монетку. Проведите монеткой извилистую линию от одного угла к другому — это траектория, а её длина — путь. Теперь соедините те же углы линейкой одной прямой стрелкой — это перемещение. Спросите: что короче? Затем проведите монетку по кругу, вернув её в начало: путь есть, а стрелку нарисовать не получится — перемещение нулевое. Хорошая аналогия — навигатор: он показывает и «пройдено 12 км», и стрелку «до цели 3 км на север».

Вопросы для проверки понимания: 1. Чем путь отличается от перемещения? 2. Ты дошёл до магазина и вернулся домой: чему равно перемещение? 3. Когда путь и модуль перемещения одинаковы?

На что обратить внимание. Ребёнок должен уверенно говорить, что перемещение — вектор, а путь — число, и что модуль перемещения никогда не больше пути. Если в задаче с поворотом он складывает участки и получает «перемещение», попросите нарисовать схему — обычно после рисунка ошибка исчезает сама.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Физика. 9 класс (Перышкин, Гутник)	§ 2	2