Задачи: Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах

Подставьте массу и радиус планеты в формулу \(g = G M / R^2\). Радиус переведите в метры.

\(g = G \dfrac{M}{R^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{4{,}9 \cdot 10^{24}}{(6{,}05 \cdot 10^{6})^2} = \dfrac{3{,}27 \cdot 10^{14}}{3{,}66 \cdot 10^{13}} \approx 8{,}9\) м/с².

Венера чуть меньше и легче Земли, поэтому и \(g\) там чуть меньше земного.

Земля сплюснута у полюсов, значит, расстояние от полюса до центра Земли меньше, чем от экватора.

Больше показали весы на полюсе. Земля — не идеальный шар, она немного сплюснута, и расстояние от центра Земли до полюса меньше, чем до экватора. По формуле \(g = G \dfrac{M}{R^2}\) меньшему расстоянию отвечает большее ускорение свободного падения (9,83 м/с² на полюсах против 9,78 м/с² на экваторе), а значит, и большая сила тяжести \(F = mg\).

Считайте по той же формуле, что и для Земли, только с массой и радиусом Луны.

\(g_Л = G \dfrac{M_Л}{R_Л^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{7{,}3 \cdot 10^{22}}{(1{,}74 \cdot 10^{6})^2} = \dfrac{4{,}87 \cdot 10^{12}}{3{,}03 \cdot 10^{12}} \approx 1{,}6\) м/с².

\(\dfrac{g_З}{g_Л} = \dfrac{9{,}8}{1{,}6} \approx 6\).

Луна в 81 раз легче Земли, но и радиус у неё в 3,7 раза меньше — в итоге \(g\) меньше только в 6 раз, а не в 81.

Сила тяжести убывает как квадрат отношения \(R / (R + h)\). Массу и радиус Земли знать не нужно.

На высоте \(h\) ускорение свободного падения \(g_h = G \dfrac{M}{(R + h)^2}\), а у поверхности \(g = G \dfrac{M}{R^2}\). Разделив одно на другое, получаем \(g_h = g \left(\dfrac{R}{R + h}\right)^2 = 9{,}8 \cdot \left(\dfrac{6400}{8000}\right)^2 = 9{,}8 \cdot 0{,}64 \approx 6{,}3\) м/с².

\(F = m g_h = 500 \cdot 6{,}3 \approx 3100\) Н \(\approx 3{,}1\) кН.

У поверхности на тот же спутник действовало бы \(500 \cdot 9{,}8 = 4900\) Н.

Запишите формулу для g планеты через земные величины — числа сократятся.

\(g = G \dfrac{M}{R^2} = G \dfrac{2 M_З}{(2 R_З)^2} = \dfrac{2}{4} \cdot G \dfrac{M_З}{R_З^2} = \dfrac{1}{2} g_З = 4{,}9\) м/с².

Удвоение массы удваивает \(g\), а удвоение радиуса уменьшает его в 4 раза — в итоге \(g\) вдвое меньше земного.

Выразите массу из формулы \(g = G M / R^2\).

Из \(g = G \dfrac{M}{R^2}\) получаем \(M = \dfrac{g R^2}{G} = \dfrac{24{,}8 \cdot (7 \cdot 10^{7})^2}{6{,}67 \cdot 10^{-11}} = \dfrac{1{,}22 \cdot 10^{17}}{6{,}67 \cdot 10^{-11}} \approx 1{,}8 \cdot 10^{27}\) кг.

Это примерно в 300 раз больше массы Земли — Юпитер и правда самая тяжёлая планета Солнечной системы.