Тело подняли на высоту, равную радиусу Земли. Как изменилось ускорение свободного падения?

Уменьшилось в 4 раза

Уменьшилось в 2 раза

Уменьшилось в 8 раз

Какие утверждения верны?

Ускорение свободного падения зависит от массы планеты

На полюсах Земли g чуть больше чем на экваторе

На Луне g примерно в 6 раз меньше чем на Земле

Ускорение свободного падения зависит от массы падающего тела

Две планеты имеют одинаковую массу, но радиус первой в 3 раза меньше радиуса второй. Где ускорение свободного падения больше и во сколько раз?

На первой в 3 раза

На второй в 3 раза

Ускорение свободного падения — 9 класс, физика: объяснение, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Закон всемирного тяготения

Коротко о главном

Ускорение свободного падения — это следствие закона всемирного тяготения: сила тяжести $$mg$$ и есть сила притяжения тела к Земле. Поэтому $$g$$ определяется только массой и радиусом планеты и уменьшается с высотой.

g = G\frac{M}{R^2}, \qquad g_h = G\frac{M}{(R + h)^2}

Подробное объяснение

Откуда берётся число 9,8

В 7 классе вы узнали, что все тела у поверхности Земли падают с одним и тем же ускорением $g \approx 9{,}8$ м/с², а сила тяжести равна $$F = mg$$ . Но откуда берётся именно это число? Ответ даёт закон всемирного тяготения.

На тело массой $$m$$ у поверхности Земли действует сила притяжения к Земле:

F = G\frac{M m}{R^2},

где $$M$$ — масса Земли, $$R$$ — её радиус (расстояние от центра Земли до тела), $$G$$ — гравитационная постоянная. С другой стороны, та же сила — это сила тяжести $$F = mg$$ . Приравняем:

mg = G\frac{M m}{R^2} \quad\Rightarrow\quad g = G\frac{M}{R^2}.

Масса тела $$m$$ сократилась. Вот почему пёрышко и кирпич в вакууме падают одинаково: ускорение свободного падения зависит не от тела, а только от планеты — от её массы $$M$$ и радиуса $$R$$ .

Проверим: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг², $M = 6 \cdot 10^{24}$ кг, $$R = 6400$$ км $= 6{,}4 \cdot 10^{6}$ м. Тогда $g = \dfrac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{(6{,}4 \cdot 10^{6})^2} \approx 9{,}8$ м/с². Число сошлось — значит, закон тяготения действительно объясняет падение тел.

Строго говоря, сила тяжести и сила притяжения к Земле отличаются на крошечную величину: Земля вращается вокруг оси и не является строго инерциальной системой отсчёта. Но эта разница настолько мала, что в 9 классе силы считают равными.

Что происходит с высотой

В формуле $$R$$ — расстояние от тела до центра Земли. Если тело поднять на высоту $$h$$ , это расстояние станет $$R + h$$ :

g_h = G\frac{M}{(R + h)^2}.

Земля в разрезе, два тела над её центром: одно на поверхности, другое на высоте h. У поверхности стрелка ускорения g длиннее, на высоте — короче: g = GM/R² и gₕ = GM/(R + h)², чем дальше от центра, тем g меньше. — Расстояние в формуле отсчитывается от центра Земли. На высоте h оно равно R + h, поэтому ускорение свободного падения там меньше.

Чем выше, тем меньше $$g$$ и тем меньше сила тяжести. Но замечать это начинаешь только на космических высотах. Радиус Земли — 6400 км, а самая высокая гора — меньше 9 км. Альпинист массой 80 кг на высоте 3 км «теряет» меньше 1 Н из своих 784 Н. Поэтому во всех «земных» задачах — дом, самолёт, гора — берут $$g = 9{,}8$$ м/с² и о высоте не думают. А вот для спутника на высоте 6400 км расстояние до центра Земли удваивается, и $$g$$ падает в 4 раза.

Удобный приём: если известно $$g$$ у поверхности, массу и радиус Земли подставлять не нужно. Разделив формулу для $$g_h$$ на формулу для $$g$$ , получаем

g_h = g\left(\frac{R}{R + h}\right)^2.

Полюс и экватор

Земля не идеальный шар, она слегка сплюснута: расстояние от центра до полюса меньше, чем до экватора. Поэтому на полюсах $$g = 9{,}83$$ м/с², а на экваторе — $$9{,}78$$ м/с². Разница меньше процента, но точные весы её улавливают.

Другие планеты и Луна

Формула $$g = G M / R^2$$ работает для любого небесного тела, если подставить его массу и радиус. Так находят ускорение свободного падения на Луне, Марсе, Юпитере. На Луне отношение $$M_Л / R_Л^2$$ в 6 раз меньше, чем у Земли, поэтому $g_Л \approx 1{,}6$ м/с². Человек массой 60 кг на Земле притягивается с силой 588 Н, а на Луне — всего 98 Н. Именно поэтому астронавты там передвигались прыжками.

Как решать задачи

Определите, что нужно: $$g$$ на поверхности, $$g$$ на высоте или силу тяжести $$F = mg$$ .
Переведите всё в СИ: километры — в метры, тонны и граммы — в килограммы.
Для поверхности планеты подставляйте $$g = G M / R^2$$ ; для высоты $$h$$ — $$(R + h)$$ вместо $$R$$ .
Если $$g$$ у поверхности известно, а спрашивают про высоту, используйте отношение $g_h = g \left(\dfrac{R}{R + h}\right)^2$ — так короче.
Если высота во много раз меньше радиуса планеты, изменением $$g$$ пренебрегайте.
Проверьте ответ на здравый смысл: на планетах земной группы $$g$$ — единицы м/с², у Юпитера — десятки, а с высотой $$g$$ может только уменьшаться.

Разобранные примеры

База

Ускорение свободного падения на Марсе

Условие

Масса Марса 6,4·10²³ кг, радиус 3400 км. Найдите ускорение свободного падения на его поверхности.

Дано

$M = 6{,}4 \cdot 10^{23}$ кг
$$R = 3400$$ км $= 3{,}4 \cdot 10^{6}$ м
$G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Найти

$$g$$

Решение

$g = G \dfrac{M}{R^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{6{,}4 \cdot 10^{23}}{(3{,}4 \cdot 10^{6})^2} = \dfrac{4{,}27 \cdot 10^{13}}{1{,}16 \cdot 10^{13}} \approx 3{,}7$ м/с².

Марс почти в 10 раз легче Земли, но и радиус у него почти вдвое меньше, поэтому $$g$$ там меньше земного только в 2,7 раза.

Ответ: ≈ 3,7 м/с²

Средний

Ускорение свободного падения на орбите МКС

Условие

Международная космическая станция летает на высоте 400 км. Чему равно ускорение свободного падения на этой высоте? Радиус Земли 6400 км, у поверхности $$g = 9{,}8$$ м/с².

Дано

$$h = 400$$ км
$$R = 6400$$ км
$$g = 9{,}8$$ м/с²

Найти

$$g_h$$

Решение

$g_h = g \left(\dfrac{R}{R + h}\right)^2 = 9{,}8 \cdot \left(\dfrac{6400}{6800}\right)^2 = 9{,}8 \cdot 0{,}886 \approx 8{,}7$ м/с².

Ускорение уменьшилось всего на 11 %. Невесомость на станции — не потому, что тяготение исчезло: сила тяжести там почти как на Земле, просто станция вместе с экипажем всё время «падает» вокруг Земли.

Ответ: ≈ 8,7 м/с²

Сложный

Сила тяжести на марсоход

Условие

Марсоход массой 900 кг доставили с Земли на Марс. Во сколько раз уменьшилась действующая на него сила тяжести? Масса Марса 6,4·10²³ кг, радиус 3400 км, земное $$g = 9{,}8$$ м/с².

Дано

$$m = 900$$ кг
$M = 6{,}4 \cdot 10^{23}$ кг
$R = 3{,}4 \cdot 10^{6}$ м
$g_З = 9{,}8$ м/с²

Найти

$\dfrac{F_З}{F_М}$

Решение

Сначала $$g$$ на Марсе (см. первый пример): $g_М = G \dfrac{M}{R^2} \approx 3{,}7$ м/с².

На Земле $F_З = m g_З = 900 \cdot 9{,}8 = 8820$ Н, на Марсе $F_М = m g_М = 900 \cdot 3{,}7 = 3330$ Н.

$\dfrac{F_З}{F_М} = \dfrac{m g_З}{m g_М} = \dfrac{9{,}8}{3{,}7} \approx 2{,}7$ .

Заметьте: масса марсохода при перелёте не изменилась — те же 900 кг. Изменилась только сила, с которой планета его притягивает, и отношение сил равно отношению ускорений свободного падения.

Ответ: Примерно в 2,7 раза (8,8 кН на Земле против 3,3 кН на Марсе)

Типичные ошибки

Подставляют в формулу высоту вместо расстояния до центра

Почему неверно

В законе тяготения $$R$$ — это расстояние между центрами тел. Для спутника на высоте 400 км ученик пишет $g = GM / (400\,000)^2$ и получает чудовищное число — сотни тысяч м/с². На самом деле спутник удалён от центра Земли на $$6400 + 400 = 6800$$ км.

Как правильно

Всегда складывайте радиус планеты и высоту: в знаменателе стоит $$(R + h)^2$$ . И обе величины должны быть в одних единицах — либо километры, либо метры.

Думают, что g зависит от массы падающего тела

Почему неверно

Кажется, что тяжёлое тело Земля притягивает сильнее, а значит, оно и падает быстрее. Сильнее — да: сила $$F = GMm/R^2$$ пропорциональна $$m$$ . Но ускорение $$a = F/m$$ , и масса тела сокращается. Кирпич притягивается в 100 раз сильнее пёрышка, но и разогнать его в 100 раз труднее.

Как правильно

$$g = GM/R^2$$ — в формуле только масса и радиус планеты. Все тела в одном месте падают с одинаковым ускорением, а разницу в воздухе создаёт сопротивление, а не тяготение.

Считают, что на Луне g меньше в 81 раз, «как масса»

Почему неверно

Луна действительно в 81 раз легче Земли, но $$g$$ зависит не только от массы. Радиус Луны в 3,7 раза меньше земного, а в формуле он стоит в квадрате: $3{,}7^2 \approx 13{,}5$ . Меньшая масса уменьшает $$g$$ в 81 раз, меньший радиус увеличивает в 13,5 раза, итог — в 6 раз меньше.

Как правильно

Сравнивая планеты, смотрите на отношение $$M / R^2$$ , а не на одну массу: $\dfrac{g_З}{g_Л} = \dfrac{M_З}{M_Л} \cdot \dfrac{R_Л^2}{R_З^2}$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Масса Венеры 4,9·10²⁴ кг, её радиус 6050 км. Найдите ускорение свободного падения на поверхности Венеры. G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².

Подсказка

Подставьте массу и радиус планеты в формулу $$g = G M / R^2$$ . Радиус переведите в метры.

Решение

Дано

$M = 4{,}9 \cdot 10^{24}$ кг
$$R = 6050$$ км $= 6{,}05 \cdot 10^{6}$ м
$G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Найти

$$g$$

$g = G \dfrac{M}{R^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{4{,}9 \cdot 10^{24}}{(6{,}05 \cdot 10^{6})^2} = \dfrac{3{,}27 \cdot 10^{14}}{3{,}66 \cdot 10^{13}} \approx 8{,}9$ м/с².

Венера чуть меньше и легче Земли, поэтому и $$g$$ там чуть меньше земного.

Ответ

≈ 8,9 м/с²

База Задача 2

Одни и те же гири взвесили на пружинных весах на полюсе и на экваторе. Где весы показали больше и почему? Вращение Земли не учитывайте.

Подсказка

Земля сплюснута у полюсов, значит, расстояние от полюса до центра Земли меньше, чем от экватора.

Решение

Больше показали весы на полюсе. Земля — не идеальный шар, она немного сплюснута, и расстояние от центра Земли до полюса меньше, чем до экватора. По формуле $g = G \dfrac{M}{R^2}$ меньшему расстоянию отвечает большее ускорение свободного падения (9,83 м/с² на полюсах против 9,78 м/с² на экваторе), а значит, и большая сила тяжести $$F = mg$$ .

Ответ

На полюсе — там меньше расстояние до центра Земли и больше g

Средний Задача 3

Масса Луны 7,3·10²² кг, радиус 1740 км. Найдите ускорение свободного падения на Луне и определите, во сколько раз оно меньше земного (9,8 м/с²). G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².

Подсказка

Считайте по той же формуле, что и для Земли, только с массой и радиусом Луны.

Решение

Дано

$M_Л = 7{,}3 \cdot 10^{22}$ кг
$$R_Л = 1740$$ км $= 1{,}74 \cdot 10^{6}$ м
$G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²
$g_З = 9{,}8$ м/с²

Найти

$$g_Л$$
$\dfrac{g_З}{g_Л}$

$g_Л = G \dfrac{M_Л}{R_Л^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{7{,}3 \cdot 10^{22}}{(1{,}74 \cdot 10^{6})^2} = \dfrac{4{,}87 \cdot 10^{12}}{3{,}03 \cdot 10^{12}} \approx 1{,}6$ м/с².

$\dfrac{g_З}{g_Л} = \dfrac{9{,}8}{1{,}6} \approx 6$ .

Луна в 81 раз легче Земли, но и радиус у неё в 3,7 раза меньше — в итоге $$g$$ меньше только в 6 раз, а не в 81.

Ответ

≈ 1,6 м/с²; примерно в 6 раз меньше

Средний Задача 4

Спутник массой 500 кг летит на высоте 1600 км над поверхностью Земли. Найдите силу тяжести, действующую на спутник. Радиус Земли 6400 км, у поверхности g = 9,8 м/с².

Подсказка

Сила тяжести убывает как квадрат отношения $$R / (R + h)$$ . Массу и радиус Земли знать не нужно.

Решение

Дано

$$m = 500$$ кг
$$h = 1600$$ км
$$R = 6400$$ км
$$g = 9{,}8$$ м/с²

Найти

$$F$$

На высоте $$h$$ ускорение свободного падения $g_h = G \dfrac{M}{(R + h)^2}$ , а у поверхности $g = G \dfrac{M}{R^2}$ . Разделив одно на другое, получаем $g_h = g \left(\dfrac{R}{R + h}\right)^2 = 9{,}8 \cdot \left(\dfrac{6400}{8000}\right)^2 = 9{,}8 \cdot 0{,}64 \approx 6{,}3$ м/с².

$F = m g_h = 500 \cdot 6{,}3 \approx 3100$ Н $\approx 3{,}1$ кН.

У поверхности на тот же спутник действовало бы $500 \cdot 9{,}8 = 4900$ Н.

Ответ

≈ 3,1 кН

Сложный Задача 5

У планеты масса в 2 раза больше земной, а радиус в 2 раза больше земного. Чему равно ускорение свободного падения на её поверхности? Земное g = 9,8 м/с².

Подсказка

Запишите формулу для g планеты через земные величины — числа сократятся.

Решение

Дано

$$M = 2 M_З$$
$$R = 2 R_З$$
$g_З = 9{,}8$ м/с²

Найти

$$g$$

$g = G \dfrac{M}{R^2} = G \dfrac{2 M_З}{(2 R_З)^2} = \dfrac{2}{4} \cdot G \dfrac{M_З}{R_З^2} = \dfrac{1}{2} g_З = 4{,}9$ м/с².

Удвоение массы удваивает $$g$$ , а удвоение радиуса уменьшает его в 4 раза — в итоге $$g$$ вдвое меньше земного.

Ответ

4,9 м/с²

Сложный Задача 6

На поверхности Юпитера ускорение свободного падения 24,8 м/с², радиус планеты 70 000 км. Найдите массу Юпитера. G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².

Подсказка

Выразите массу из формулы $$g = G M / R^2$$ .

Решение

Дано

$$g = 24{,}8$$ м/с²
$R = 70\,000$ км $= 7 \cdot 10^{7}$ м
$G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Найти

$$M$$

Из $g = G \dfrac{M}{R^2}$ получаем $M = \dfrac{g R^2}{G} = \dfrac{24{,}8 \cdot (7 \cdot 10^{7})^2}{6{,}67 \cdot 10^{-11}} = \dfrac{1{,}22 \cdot 10^{17}}{6{,}67 \cdot 10^{-11}} \approx 1{,}8 \cdot 10^{27}$ кг.

Это примерно в 300 раз больше массы Земли — Юпитер и правда самая тяжёлая планета Солнечной системы.

Ответ

≈ 1,8·10²⁷ кг

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите магнит и скрепку: чем дальше скрепка от магнита, тем слабее её тянет. С тяготением так же — только «магнит» тут вся Земля, а расстояние считается до её центра, а не до пола. Подняться на крышу или на гору — это добавить к 6400 км несколько километров, поэтому притяжение почти не меняется. А вот на высоте в ещё один радиус Земли расстояние удваивается, и тянет уже в 4 раза слабее. Число 9,8 — не «закон природы», а свойство нашей планеты: на Луне оно 1,6, на Марсе 3,7, на Юпитере около 25.

Вопросы для проверки понимания:

Почему пёрышко и гиря без воздуха падают с одним ускорением, хотя гирю Земля притягивает сильнее?
Космонавт на орбите на высоте 400 км — тяготение там исчезло или нет?
Что нужно знать о планете, чтобы вычислить $$g$$ на её поверхности?

На что обратить внимание. Самая частая ошибка — подставить в формулу высоту вместо расстояния до центра планеты. Попросите ребёнка перед расчётом проговорить: «расстояние от центра Земли до тела — это радиус плюс высота». И следите за единицами: радиус в километрах, а $$G$$ — в системе СИ, так что километры надо переводить в метры.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Физика. 9 класс (Перышкин, Гутник)	§ 16	16