Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 219

Задача 1

Условие (кратко)

а) Сократить дробь (a² − 4a + 4)/(a² + ab − 2a − 2b).

Решение

Числитель: $$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$$ .

Знаменатель группировкой: $$a^2 + ab - 2a - 2b = a(a + b) - 2(a + b) = (a + b)(a - 2)$$ .

\dfrac{(a - 2)^2}{(a + b)(a - 2)} = \dfrac{a - 2}{a + b}.

Ответ

(a − 2)/(a + b)

Почему так

Числитель — квадрат разности, знаменатель раскладывается группировкой; сокращаем на a − 2.

Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Сократить дробь (6x² − 3xy + 4x − 2y)/(9x² + 12x + 4).

Решение

Числитель группировкой: $$6x^2 - 3xy + 4x - 2y = 3x(2x - y) + 2(2x - y) = (2x - y)(3x + 2)$$ .

Знаменатель: $$9x^2 + 12x + 4 = (3x + 2)^2$$ .

\dfrac{(2x - y)(3x + 2)}{(3x + 2)^2} = \dfrac{2x - y}{3x + 2}.

Ответ

(2x − y)/(3x + 2)

Почему так

Числитель раскладывается группировкой, знаменатель — квадрат суммы; сокращаем на 3x + 2.

Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Сократить дробь (a² + 4ab + 4b²)/(a³ + 8b³).

Решение

Числитель: $$(a + 2b)^2$$ . Знаменатель — сумма кубов: $$a^3 + 8b^3 = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$$ .

\dfrac{(a + 2b)^2}{(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)} = \dfrac{a + 2b}{a^2 - 2ab + 4b^2}.

Ответ

(a + 2b)/(a² − 2ab + 4b²)

Почему так

Квадрат суммы и сумма кубов имеют общий множитель a + 2b.

Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Сократить дробь (27x³ − y³)/(18x² + 6xy + 2y²).

Решение

Числитель — разность кубов: $$27x^3 - y^3 = (3x - y)(9x^2 + 3xy + y^2)$$ .

Знаменатель: $$18x^2 + 6xy + 2y^2 = 2(9x^2 + 3xy + y^2)$$ .

\dfrac{(3x - y)(9x^2 + 3xy + y^2)}{2(9x^2 + 3xy + y^2)} = \dfrac{3x - y}{2}.

Ответ

(3x − y)/2

Почему так

Неполный квадрат суммы из разложения разности кубов совпадает со знаменателем без множителя 2.

Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-219/