Основное свойство дроби

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Рациональные выражения

Коротко о главном

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же выражение, не равное нулю, получится равная дробь. На этом держатся сокращение дробей и приведение к новому знаменателю.

\frac{a}{b} = \frac{ac}{bc}, \quad b \ne 0, \ c \ne 0

Подробное объяснение

Представьте пиццу, разрезанную на 4 куска, из которых вы съели 2. Если ту же пиццу разрезать на 8 кусков, вы съели бы 4. Количество пиццы одно и то же: $\dfrac{2}{4} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ . Числитель и знаменатель увеличились в одинаковое число раз — значение дроби не изменилось.

То же верно для дробей с буквами. Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, получится равная ей дробь:

\frac{a}{b} = \frac{ac}{bc}.

Это равенство верно при всех значениях букв, при которых знаменатели не равны нулю. Равенство, верное при всех допустимых значениях переменных, называют тождеством. Например, $\dfrac{x}{x^2} = \dfrac{1}{x}$ — тождество, хотя при $$x = 0$$ обе части не имеют смысла.

Сокращение дроби

Читаем свойство справа налево: если у числителя и знаменателя есть общий множитель, на него можно разделить. Это и есть сокращение. Главное слово — «множитель». Сокращать можно только то, что умножается на всё остальное, а не прибавляется к нему.

Поэтому многочлены сначала раскладывают на множители: выносят общий множитель за скобки, применяют формулы сокращённого умножения, группировку. Например, $\dfrac{a^2-9}{2a+6} = \dfrac{(a-3)(a+3)}{2(a+3)} = \dfrac{a-3}{2}$ .

Приведение к новому знаменателю

Иногда дробь, наоборот, нужно «растянуть» до заданного знаменателя — это пригодится при сложении дробей. Новый знаменатель делят на старый и получают дополнительный множитель. На него умножают и числитель, и знаменатель.

Смена знака

Если поменять знак у числителя и у знаменателя, дробь не изменится — это умножение на $$-1$$ сверху и снизу. Если поменять знак только у числителя или только у знаменателя, дробь станет противоположной, и перед ней нужно поставить «минус»:

\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}, \qquad \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}.

Особенно часто это нужно с разностями: $$b - a = -(a - b)$$ . Так множители $$a - b$$ и $$b - a$$ превращаются в одинаковые, и дробь удаётся сократить.

Как решать задачи на сокращение

Разложите числитель на множители: вынесите общий множитель, примените формулы $$a^2 - b^2$$ , $(a \pm b)^2$ , $a^3 \pm b^3$ или группировку.
Так же разложите знаменатель.
Если есть множители вида $$a - b$$ и $$b - a$$ , вынесите «минус» из одного, чтобы они совпали.
Разделите числитель и знаменатель на все общие множители.
Запишите ответ: «минус» — перед дробью, дробь — несократимая. При необходимости укажите, при каких значениях переменных равенство верно.

Разобранные примеры

База

Сокращение одночленной дроби

Условие

Сократите дробь $\dfrac{18m^4n^2}{27m^3n^5}$ .

Решение

Наибольший общий делитель чисел 18 и 27 равен 9; наименьшие степени букв — $$m^3$$ и $$n^2$$ . Общий множитель — $$9m^3n^2$$ :

\frac{18m^4n^2}{27m^3n^5} = \frac{9m^3n^2 \cdot 2m}{9m^3n^2 \cdot 3n^3} = \frac{2m}{3n^3}.

Ответ: 2m/(3n³)

Средний

Разложение на множители и смена знака

Условие

Сократите дробь $\dfrac{3x-15}{25-x^2}$ .

Решение

Числитель: $$3x - 15 = 3(x - 5)$$ . Знаменатель — разность квадратов: $$25 - x^2 = (5 - x)(5 + x)$$ . Множители $$x - 5$$ и $$5 - x$$ отличаются знаком, поэтому $$5 - x = -(x - 5)$$ :

\frac{3(x-5)}{-(x-5)(x+5)} = -\frac{3}{x+5}.

Ответ: −3/(x + 5)

Средний

Приведение к новому знаменателю

Условие

Приведите дробь $\dfrac{a}{a-2}$ к знаменателю $$a^2 - 4$$ .

Решение

$$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$$ , значит, дополнительный множитель — $$a + 2$$ :

\frac{a}{a-2} = \frac{a(a+2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2+2a}{a^2-4}.

Ответ: (a² + 2a)/(a² − 4)

Типичные ошибки

Сокращают слагаемые, а не множители

Почему неверно

В записи $\dfrac{x+3}{x}$ нельзя «зачеркнуть» $$x$$ и получить $$3$$ . Проверка: при $$x = 1$$ дробь равна $$4$$ , а не $$3$$ . Число $$x$$ здесь — слагаемое числителя, а не его множитель.

Как правильно

Сначала разложите числитель и знаменатель на множители. Если общего множителя нет, дробь несократима: $\dfrac{x+3}{x}$ так и остаётся.

Путают $a - b$ и $b - a$

Почему неверно

Сокращают $\dfrac{a-b}{b-a}$ и пишут ответ $$1$$ . Но эти выражения противоположны: при $$a = 5$$ , $$b = 2$$ получается $\dfrac{3}{-3} = -1$ .

Как правильно

Вынесите «минус»: $$b - a = -(a - b)$$ , тогда $\dfrac{a-b}{-(a-b)} = -1$ .

Меняют знак только в одном месте и забывают «минус»

Почему неверно

Записывают $\dfrac{5}{2-x} = \dfrac{5}{x-2}$ : знак сменили лишь у знаменателя, и дробь стала противоположной.

Как правильно

Если меняете знак знаменателя, поставьте «минус» перед дробью: $\dfrac{5}{2-x} = -\dfrac{5}{x-2}$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Сократите дробь $\dfrac{14a^3b}{21ab^2}$ .

Подсказка

Найдите наибольший общий делитель коэффициентов и наименьшие степени каждой буквы.

Решение

Общий множитель числителя и знаменателя — $$7ab$$ .

\dfrac{14a^3b}{21ab^2} = \dfrac{7ab \cdot 2a^2}{7ab \cdot 3b} = \dfrac{2a^2}{3b}.

Ответ

2a²/(3b)

База Задача 2

Приведите дробь $\dfrac{3}{4x}$ к знаменателю $$20x^2y$$ . Какой получится числитель?

Подсказка

Разделите новый знаменатель на старый — это дополнительный множитель.

Решение

Дополнительный множитель $$20x^2y : 4x = 5xy$$ . Умножаем на него числитель и знаменатель:

\dfrac{3}{4x} = \dfrac{3 \cdot 5xy}{4x \cdot 5xy} = \dfrac{15xy}{20x^2y}.

Ответ

15xy (дробь 15xy/(20x²y))

Средний Задача 3

Сократите дробь $\dfrac{x^2-49}{x^2+7x}$ .

Подсказка

Числитель — разность квадратов, в знаменателе вынесите $$x$$ за скобки.

Решение

\dfrac{x^2-49}{x^2+7x} = \dfrac{(x-7)(x+7)}{x(x+7)} = \dfrac{x-7}{x}.

Ответ

(x − 7)/x

Средний Задача 4

Сократите дробь $\dfrac{4-2a}{a^2-4}$ .

Подсказка

В числителе вынесите за скобки $$-2$$ , чтобы получить множитель $$a - 2$$ .

Решение

\dfrac{4-2a}{a^2-4} = \dfrac{-2(a-2)}{(a-2)(a+2)} = -\dfrac{2}{a+2}.

Ответ

−2/(a + 2)

Сложный Задача 5

Сократите дробь $\dfrac{x^2-xy-3x+3y}{x^2-9}$ .

Подсказка

Числитель разложите способом группировки.

Решение

Числитель $$x^2 - xy - 3x + 3y = x(x-y) - 3(x-y) = (x-y)(x-3)$$ , знаменатель $$(x-3)(x+3)$$ .

\dfrac{(x-y)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \dfrac{x-y}{x+3}.

Ответ

(x − y)/(x + 3)

Сложный Задача 6

Найдите значение дроби $\dfrac{b-a}{a^2-2ab+b^2}$ при $$a = 1{,}25$$ , $$b = 0{,}75$$ .

Подсказка

Знаменатель — квадрат разности, а $$b - a = -(a - b)$$ .

Решение

\dfrac{b-a}{(a-b)^2} = \dfrac{-(a-b)}{(a-b)^2} = -\dfrac{1}{a-b}.

При данных значениях $$a - b = 0{,}5$$ , поэтому значение дроби равно $-\dfrac{1}{0{,}5} = -2$ .

Ответ

−2

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите плитку шоколада: половина плитки из 4 долек — это 2 дольки, а из 8 долек — 4 дольки. Количество шоколада то же: числитель и знаменатель умножили на одно число. С буквами работает то же правило, только сокращать можно лишь общие множители. Попросите ребёнка проверить любое сокращение подстановкой числа: если до и после сокращения получаются разные значения, где-то ошибка.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему $\dfrac{2a}{2b}$ можно сократить на 2, а $\dfrac{a+2}{b+2}$ — нельзя? 2) Чем отличаются $\dfrac{-3}{x}$ и $\dfrac{-3}{-x}$ ? 3) Как найти дополнительный множитель при приведении к новому знаменателю?

На что обратить внимание. Сокращение почти всегда начинается с разложения на множители — если ребёнок путается в формулах сокращённого умножения, повторите их. Следите, чтобы «минус» в ответе стоял перед дробью, а дробь была сокращена до конца.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 2	25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54