Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 220

Задача 1

Условие (кратко)

а) Выполнить сокращение (b¹⁴ − b⁷ + 1)/(b²¹ + 1).

Решение

Знаменатель — сумма кубов: $b^{21} + 1 = (b^7)^3 + 1^3 = (b^7 + 1)(b^{14} - b^7 + 1)$ .

\dfrac{b^{14} - b^7 + 1}{(b^7 + 1)(b^{14} - b^7 + 1)} = \dfrac{1}{b^7 + 1}.

Ответ

1/(b⁷ + 1)

Почему так

b²¹ + 1 раскладывается как сумма кубов (b⁷)³ + 1, второй множитель совпадает с числителем.

Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Выполнить сокращение (x³³ − 1)/(x³³ + x²² + x¹¹).

Решение

Числитель — разность кубов: $x^{33} - 1 = (x^{11} - 1)(x^{22} + x^{11} + 1)$ .

Знаменатель: $x^{33} + x^{22} + x^{11} = x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1)$ .

\dfrac{(x^{11} - 1)(x^{22} + x^{11} + 1)}{x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1)} = \dfrac{x^{11} - 1}{x^{11}}.

Ответ

(x¹¹ − 1)/x¹¹

Почему так

x³³ − 1 — разность кубов (x¹¹)³ − 1, а в знаменателе выносится x¹¹.

Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Выполнить сокращение (x(y − z) − y(x − z))/(x(y − z)² − y(x − z)²).

Решение

Числитель: $$xy - xz - xy + yz = yz - xz = z(y - x)$$ .

Знаменатель: $$x(y^2 - 2yz + z^2) - y(x^2 - 2xz + z^2) = xy^2 - x^2y + xz^2 - yz^2 = xy(y - x) - z^2(y - x) = (y - x)(xy - z^2)$$ .

\dfrac{z(y - x)}{(y - x)(xy - z^2)} = \dfrac{z}{xy - z^2}.

Ответ

z/(xy − z²)

Почему так

После раскрытия скобок и группировки в числителе и знаменателе появляется общий множитель y − x.

Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Выполнить сокращение (a(b + 1)² − b(a + 1)²)/(a(b + 1) − b(a + 1)).

Решение

Числитель: $$ab^2 + 2ab + a - a^2b - 2ab - b = ab^2 - a^2b + a - b = ab(b - a) - (b - a) = (b - a)(ab - 1)$$ .

Знаменатель: $$ab + a - ab - b = a - b = -(b - a)$$ .

\dfrac{(b - a)(ab - 1)}{-(b - a)} = -(ab - 1) = 1 - ab.

Ответ

1 − ab

Почему так

Числитель группировкой даёт множитель b − a, а знаменатель равен a − b, то есть противоположному выражению.

Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-220/