Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что если в дроби (x² − 2y²)/(3y² + 5xy) заменить x и y на kx и ky (k ≠ 0), получится дробь, тождественно равная первоначальной.
Решение
Подставим \(kx\) и \(ky\):
\[\dfrac{(kx)^2 - 2(ky)^2}{3(ky)^2 + 5 \cdot kx \cdot ky} = \dfrac{k^2x^2 - 2k^2y^2}{3k^2y^2 + 5k^2xy} = \dfrac{k^2(x^2 - 2y^2)}{k^2(3y^2 + 5xy)}.\]
Так как \(k \ne 0\), то \(k^2 \ne 0\), и по основному свойству дроби сокращаем на \(k^2\):
\[\dfrac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy}.\]
Получилась исходная дробь, что и требовалось доказать.
Ответ
Тождество доказано; после подстановки числитель и знаменатель умножаются на k²
Почему так
Все члены числителя и знаменателя второй степени, поэтому выносится общий множитель k² ≠ 0.
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».