Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что если a/b = b/c = c/a, то a = b = c.
Решение
По условию \(a, b, c \ne 0\) (они стоят в знаменателях). Обозначим общее значение дробей через \(k\): \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a} = k\).
Перемножим три равные дроби:
\[k^3 = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{a} = \dfrac{abc}{abc} = 1.\]
Единственное число, куб которого равен 1, — это \(k = 1\).
Значит, \(\dfrac{a}{b} = 1\) и \(\dfrac{b}{c} = 1\), то есть \(a = b\) и \(b = c\). Следовательно, \(a = b = c\), что и требовалось доказать.
Ответ
Доказано; общее значение отношений k удовлетворяет k³ = 1, значит k = 1 и a = b = c
Почему так
Произведение трёх отношений равно 1, а куб равен 1 только у числа 1.
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».