Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 225

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что (y − b)²/(y − b + 1) + (y − b)/(y − b + 1) тождественно равно многочлену.

Решение

\dfrac{(y - b)^2 + (y - b)}{y - b + 1} = \dfrac{(y - b)(y - b + 1)}{y - b + 1} = y - b.

При всех допустимых значениях ( $y - b \ne -1$ ) выражение равно многочлену $$y - b$$ .

Ответ

Тождество доказано; выражение равно y − b

Почему так

В числителе выносится общий множитель y − b, второй множитель совпадает со знаменателем.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать, что (a + x)²/(a + x − 2) − (2a + 2x)/(a + x − 2) тождественно равно многочлену.

Решение

\dfrac{(a + x)^2 - 2(a + x)}{a + x - 2} = \dfrac{(a + x)(a + x - 2)}{a + x - 2} = a + x.

При всех допустимых значениях ( $a + x \ne 2$ ) выражение равно многочлену $$a + x$$ .

Ответ

Тождество доказано; выражение равно a + x

Почему так

В числителе выносится общий множитель a + x, второй множитель совпадает со знаменателем.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Доказать, что (x² − y²)/(x − y − 1) + (x + y)/(y − x + 1) тождественно равно многочлену.

Решение

Знаменатели противоположны: $$y - x + 1 = -(x - y - 1)$$ .

\dfrac{x^2 - y^2 - (x + y)}{x - y - 1} = \dfrac{(x + y)(x - y) - (x + y)}{x - y - 1} = \dfrac{(x + y)(x - y - 1)}{x - y - 1} = x + y.

При всех допустимых значениях выражение равно многочлену

\(x + y\)

Ответ

Тождество доказано; выражение равно x + y

Почему так

Вторую дробь приводят к знаменателю x − y − 1 сменой знака, затем выносят x + y.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Доказать, что (b² − 9c²)/(b + 3c − 2) + 2(b − 3c)/(2 − b − 3c) тождественно равно многочлену.

Решение

Знаменатели противоположны: $$2 - b - 3c = -(b + 3c - 2)$$ .

\dfrac{b^2 - 9c^2 - 2(b - 3c)}{b + 3c - 2} = \dfrac{(b - 3c)(b + 3c) - 2(b - 3c)}{b + 3c - 2} = \dfrac{(b - 3c)(b + 3c - 2)}{b + 3c - 2} = b - 3c.

При всех допустимых значениях выражение равно многочлену

\(b - 3c\)

Ответ

Тождество доказано; выражение равно b − 3c

Почему так

После смены знака у второй дроби в числителе выносится общий множитель b − 3c.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-225/