Какие равенства верны (при допустимых значениях переменных)?

\dfrac{5}{b - a} = -\dfrac{5}{a - b}

\dfrac{5}{b - a} = \dfrac{5}{a - b}

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Коротко о главном

Чтобы сложить алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, складывают их числители, а знаменатель оставляют тем же. При вычитании из числителя первой дроби вычитают весь числитель второй.

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}, \qquad \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}, \quad c \ne 0

Подробное объяснение

Сначала — про пиццу

Пиццу разрезали на 8 равных кусков. Петя съел 3 куска, Оля — 2. Вместе они съели $\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}$ пиццы. Куски одинаковые, поэтому мы просто считаем, сколько их всего. Размер куска, то есть знаменатель 8, не меняется. Сложить знаменатели и получить «пять шестнадцатых» было бы странно: куски от этого не стали мельче.

С дробями, где в числителе и знаменателе стоят многочлены, всё точно так же. Буквы — это те же числа, только пока неизвестные.

Правило

Если у дробей одинаковый знаменатель $$c$$ , то

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}, \qquad \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}.

Здесь $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ — многочлены, и $$c$$ не равен нулю. Если дробей несколько, их можно объединить сразу в одну: под общей чертой записывают все числители с их знаками.

Главная ловушка — минус перед дробью

Когда вычитаем дробь, вычитается её числитель целиком. Поэтому его удобно сразу взять в скобки:

\frac{5x + 1}{x} - \frac{2x - 4}{x} = \frac{5x + 1 - (2x - 4)}{x} = \frac{3x + 5}{x}.

После раскрытия скобок знак меняется у каждого члена: $$-4$$ превратилось в $$+4$$ .

Результат почти всегда нужно сократить

После сложения в числителе часто появляется общий множитель со знаменателем. Разложите числитель на множители: вынесите общий множитель, примените формулу квадрата суммы или разности квадратов. Например, $\dfrac{y^2 - 4}{y + 2} = \dfrac{(y - 2)(y + 2)}{y + 2} = y - 2$ .

Знаменатели противоположные

Выражения $$a - b$$ и $$b - a$$ противоположны: $$b - a = -(a - b)$$ . Значит, у дроби можно одновременно поменять знак знаменателя и знак перед дробью:

\frac{7}{3 - x} = -\frac{7}{x - 3}.

После этого знаменатели совпадают, и работает обычное правило. Будьте внимательны со степенями: $$(3 - x)^2 = (x - 3)^2$$ — чётная степень «съедает» минус, а $$(3 - x)^3 = -(x - 3)^3$$ — нечётная его сохраняет.

Правило работает и в обратную сторону

Прочитав формулу справа налево, дробь можно разбить на сумму: $\dfrac{a + b}{c} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}$ . Это помогает выделить целую часть: $\dfrac{n^2 + 3}{n} = n + \dfrac{3}{n}$ . Так решают задачи вида «при каких целых $$n$$ дробь — целое число».

Как решать

Проверьте знаменатели. Если они противоположны, поменяйте знак знаменателя у одной дроби и знак перед ней.
Запишите одну дробь с общим знаменателем. Каждый числитель, перед которым стоит минус, возьмите в скобки.
Раскройте скобки и приведите подобные члены в числителе.
Разложите числитель (и, если нужно, знаменатель) на множители.
Сократите дробь на общий множитель. Если остался минус, поставьте его перед дробью.
Если нужно значение выражения, подставляйте числа уже в упрощённую дробь, а допустимость значений проверяйте по исходному знаменателю.

Разобранные примеры

База

Три дроби с общим знаменателем

Условие

Упростите $\dfrac{4a + 1}{6a} - \dfrac{a - 5}{6a} + \dfrac{3 - a}{6a}$ .

Решение

Объединяем в одну дробь, числитель вычитаемой дроби берём в скобки:

$\dfrac{4a + 1 - (a - 5) + 3 - a}{6a} = \dfrac{4a + 1 - a + 5 + 3 - a}{6a} = \dfrac{2a + 9}{6a}$ .

Общего множителя у числителя и знаменателя нет, сокращать нечего.

Ответ: (2a + 9)/(6a)

Средний

Сокращение после вычитания

Условие

Выполните действие $\dfrac{m^2 + 25}{m^2 - 25} - \dfrac{10m}{m^2 - 25}$ .

Решение

$\dfrac{m^2 + 25 - 10m}{m^2 - 25} = \dfrac{m^2 - 10m + 25}{m^2 - 25} = \dfrac{(m - 5)^2}{(m - 5)(m + 5)} = \dfrac{m - 5}{m + 5}$ .

Числитель свернули по формуле квадрата разности, знаменатель разложили как разность квадратов.

Ответ: (m − 5)/(m + 5)

Сложный

Противоположные знаменатели

Условие

Выполните действие $\dfrac{2x^2}{x - 4} + \dfrac{x + 28}{4 - x}$ .

Решение

Знаменатели противоположны: $$4 - x = -(x - 4)$$ . Поэтому $\dfrac{x + 28}{4 - x} = -\dfrac{x + 28}{x - 4}$ и

$\dfrac{2x^2 - (x + 28)}{x - 4} = \dfrac{2x^2 - x - 28}{x - 4}$ .

Разложим числитель: $$2x^2 - x - 28 = 2x^2 - 8x + 7x - 28 = 2x(x - 4) + 7(x - 4) = (x - 4)(2x + 7)$$ .

Значит, $\dfrac{(x - 4)(2x + 7)}{x - 4} = 2x + 7$ при $x \ne 4$ .

Ответ: 2x + 7

Типичные ошибки

Складывают и знаменатели

Почему неверно

Запись $\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x} = \dfrac{a + b}{2x}$ неверна. Проверьте на числах: $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$ , а «по ошибочному правилу» вышло бы $\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$ — сумма равна одному слагаемому.

Как правильно

Знаменатель показывает размер долей, он не меняется: $\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x} = \dfrac{a + b}{x}$ .

Меняют знак только у первого члена вычитаемого числителя

Почему неверно

В записи $\dfrac{3y}{y + 1} - \dfrac{y - 2}{y + 1} = \dfrac{3y - y - 2}{y + 1}$ вычли только $$y$$ , а число $$2$$ «забыли». Вычитается весь числитель, то есть $$y - 2$$ целиком.

Как правильно

Сначала скобки, потом раскрытие: $\dfrac{3y - (y - 2)}{y + 1} = \dfrac{3y - y + 2}{y + 1} = \dfrac{2y + 2}{y + 1} = 2$ .

Считают одинаковыми знаменатели $a - b$ и $b - a$

Почему неверно

$$a - b$$ и $$b - a$$ — противоположные выражения, например $$7 - 2 = 5$$ , а $$2 - 7 = -5$$ . Если сложить числители, «не заметив» этого, знак второй дроби будет неверным.

Как правильно

Перепишите вторую дробь: $\dfrac{c}{b - a} = -\dfrac{c}{a - b}$ , и только потом объединяйте дроби. Помните: у $$(b - a)^2$$ менять знак не нужно, у $$(b - a)^3$$ — нужно.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Выполните сложение $\dfrac{4m}{7n} + \dfrac{3m}{7n}$ .

Подсказка

Сложите числители, знаменатель оставьте прежним, затем сократите.

Решение

$\dfrac{4m + 3m}{7n} = \dfrac{7m}{7n} = \dfrac{m}{n}$ .

Ответ

m/n

База Задача 2

Выполните вычитание $\dfrac{9x + 2}{5x} - \dfrac{4x + 2}{5x}$ .

Подсказка

Числитель второй дроби вычитайте целиком — возьмите его в скобки.

Решение

$\dfrac{9x + 2 - (4x + 2)}{5x} = \dfrac{9x + 2 - 4x - 2}{5x} = \dfrac{5x}{5x} = 1$ (при $x \ne 0$ ).

Ответ

1

Средний Задача 3

Упростите выражение $\dfrac{c^2}{c - 6} - \dfrac{36}{c - 6}$ .

Подсказка

В числителе получится разность квадратов.

Решение

$\dfrac{c^2 - 36}{c - 6} = \dfrac{(c - 6)(c + 6)}{c - 6} = c + 6$ (при $c \ne 6$ ).

Ответ

c + 6

Средний Задача 4

Выполните действие $\dfrac{7a}{a - 2b} + \dfrac{3a + 4b}{2b - a}$ .

Подсказка

Знаменатели противоположны. Замените $$2b - a$$ на $$-(a - 2b)$$ и поменяйте знак перед второй дробью.

Решение

$\dfrac{3a + 4b}{2b - a} = -\dfrac{3a + 4b}{a - 2b}$ , поэтому

$\dfrac{7a - (3a + 4b)}{a - 2b} = \dfrac{4a - 4b}{a - 2b} = \dfrac{4(a - b)}{a - 2b}$ .

Ответ

4(a − b)/(a − 2b)

Сложный Задача 5

Найдите значение выражения $\dfrac{x^2 + 2x}{x^2 - 9} - \dfrac{5x + 18}{x^2 - 9}$ при $$x = 1{,}5$$ .

Подсказка

Сначала упростите выражение, разложив числитель на множители.

Решение

$\dfrac{x^2 + 2x - 5x - 18}{x^2 - 9} = \dfrac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 9} = \dfrac{(x - 6)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \dfrac{x - 6}{x - 3}$ .

При $$x = 1{,}5$$ получаем $\dfrac{1{,}5 - 6}{1{,}5 - 3} = \dfrac{-4{,}5}{-1{,}5} = 3$ .

Ответ

3

Сложный Задача 6

При каких натуральных $$n$$ значение дроби $\dfrac{n^2 + 4n + 10}{n}$ — натуральное число?

Подсказка

Представьте дробь в виде суммы $\dfrac{n^2}{n} + \dfrac{4n}{n} + \dfrac{10}{n}$ .

Решение

$\dfrac{n^2 + 4n + 10}{n} = n + 4 + \dfrac{10}{n}$ .

При натуральном $$n$$ число $$n + 4$$ натуральное, поэтому вся сумма натуральна, когда $\dfrac{10}{n}$ — натуральное число, то есть $$n$$ — делитель 10: $$n = 1, 2, 5, 10$$ .

Ответ

1; 2; 5; 10

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Разрежьте яблоко или шоколадку на равные части и спросите: если взять 3 дольки из 8 и ещё 2 дольки из 8, сколько будет? Ребёнок легко скажет «5 из 8» — доли те же, меняется только их количество. Затем покажите, что буквы в дробях — это такие же числа, и правило не меняется. Отдельно разберите минус: «вычесть пакет, в котором лежат 2 яблока и не хватает одного» — значит вычесть всё содержимое пакета, отсюда скобки.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему при сложении дробей знаменатель не складывают? 2) Чему равно $\dfrac{x}{y} - \dfrac{x - 1}{y}$ ? 3) Как поменять знаменатель $$5 - a$$ на $$a - 5$$ и что при этом происходит с дробью?

На что обратить внимание. Самые частые ошибки — не взятый в скобки вычитаемый числитель и несокращённый ответ. Попросите ребёнка в конце каждого примера спросить себя: «Можно ли разложить числитель на множители?»

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 3	55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74