Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что если правильная обыкновенная дробь a/b несократима, то дробь, дополняющая её до единицы, тоже несократима.
Решение
Дополняющая дробь: \(1 - \dfrac{a}{b} = \dfrac{b - a}{b}\) (здесь \(a\), \(b\) — натуральные, \(a < b\)).
Пусть натуральное \(d\) — общий делитель чисел \(b - a\) и \(b\). Тогда \(d\) делит и их разность: \(b - (b - a) = a\). Значит, \(d\) — общий делитель \(a\) и \(b\).
Дробь \(\dfrac{a}{b}\) несократима, поэтому у \(a\) и \(b\) нет общих делителей, кроме 1. Значит, \(d = 1\), и дробь \(\dfrac{b - a}{b}\) тоже несократима, что и требовалось доказать.
Ответ
Доказано; общий делитель чисел b − a и b делит и a, поэтому он равен 1
Почему так
Если число делит два слагаемых суммы или разности, то оно делит и результат.
Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями».