Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 233

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить: (2y² − y)/(y² − y + 1/4) − (2y² + y)/(y² + y + 1/4) − 1/(y² − 1/4).

Решение

Знаменатели — квадраты и разность квадратов: $y^2 - y + \dfrac14 = \left(y - \dfrac12\right)^2$ , $y^2 + y + \dfrac14 = \left(y + \dfrac12\right)^2$ , $y^2 - \dfrac14 = \left(y - \dfrac12\right)\left(y + \dfrac12\right)$ . Числители: $2y^2 - y = 2y\left(y - \dfrac12\right)$ , $2y^2 + y = 2y\left(y + \dfrac12\right)$ .

Сокращаем первые две дроби:

\dfrac{2y}{y - \frac12} - \dfrac{2y}{y + \frac12} - \dfrac{1}{\left(y - \frac12\right)\left(y + \frac12\right)} = \dfrac{2y\left(y + \frac12\right) - 2y\left(y - \frac12\right) - 1}{y^2 - \frac14} = \dfrac{2y - 1}{y^2 - \frac14}.

$2y - 1 = 2\left(y - \dfrac12\right)$ , поэтому

\dfrac{2\left(y - \frac12\right)}{\left(y - \frac12\right)\left(y + \frac12\right)} = \dfrac{2}{y + \frac12} = \dfrac{4}{2y + 1}, \quad y \ne \pm\dfrac12.

Ответ

4/(2y + 1)

Почему так

Знаменатели раскладываются по формулам квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Упростить: 6a/(2,5a² − 0,64) − 8/(6a − 3,2).

Решение

Решаем по условию, как оно напечатано. Переведём десятичные дроби в обыкновенные: $2{,}5a^2 - 0{,}64 = \dfrac{125a^2 - 32}{50}$ , $6a - 3{,}2 = \dfrac{30a - 16}{5} = \dfrac{2(15a - 8)}{5}$ .

\dfrac{6a}{2{,}5a^2 - 0{,}64} - \dfrac{8}{6a - 3{,}2} = \dfrac{300a}{125a^2 - 32} - \dfrac{20}{15a - 8} = \dfrac{300a(15a - 8) - 20(125a^2 - 32)}{(125a^2 - 32)(15a - 8)}.

Числитель: $$4500a^2 - 2400a - 2500a^2 + 640 = 2000a^2 - 2400a + 640 = 80(25a^2 - 30a + 8) = 80(5a - 2)(5a - 4)$$ .

\dfrac{80(5a - 2)(5a - 4)}{(125a^2 - 32)(15a - 8)}.

Общих множителей у числителя и знаменателя нет, дробь не сокращается.

Оговорка: в ответах учебника указано $\dfrac{20}{15a + 8}$ — он получается, если в первом знаменателе $2{,}25a^2$ вместо $2{,}5a^2$ . Тогда $2{,}25a^2 - 0{,}64 = (1{,}5a - 0{,}8)(1{,}5a + 0{,}8)$ , $$6a - 3{,}2 = 4(1{,}5a - 0{,}8)$$ , и выражение сокращается до $\dfrac{2}{1{,}5a + 0{,}8} = \dfrac{20}{15a + 8}$ .

Ответ

80(5a − 2)(5a − 4)/((125a² − 32)(15a − 8)) (ответ учебника 20/(15a + 8) получается при 2,25a² вместо 2,5a²)

Почему так

Десятичные коэффициенты переводим в обыкновенные дроби и приводим дроби к общему знаменателю.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-233/