Какие равенства верны при всех допустимых значениях переменных?

\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a + b}{ab}

x - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x^2 - 1}{x}

\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{2}{a + b}

\dfrac{2}{a - b} + \dfrac{1}{b - a} = \dfrac{3}{a - b}

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Коротко о главном

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю: каждую дробь домножают на дополнительный множитель, а потом действуют с числителями, как при одинаковых знаменателях.

\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad \pm bc}{bd}

Подробное объяснение

Откуда берётся общий знаменатель

Одну пиццу разрезали на 3 части, другую — на 4. Вы съели по одному куску от каждой. Сколько это пиццы? Складывать $\dfrac{1}{3}$ и $\dfrac{1}{4}$ «как есть» нельзя: куски разного размера. Если же мысленно разрезать обе пиццы на 12 одинаковых частей, то треть — это 4 части, а четверть — 3 части. Вместе $\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$ .

С алгебраическими дробями всё так же. Дроби $\dfrac{x}{3a}$ и $\dfrac{1}{2a^2}$ сначала записывают с одинаковым знаменателем — общим. По основному свойству дроби числитель и знаменатель можно умножить на одно и то же ненулевое выражение, и дробь не изменится. Это выражение называют дополнительным множителем.

Как выбрать общий знаменатель

Общим знаменателем подходит любое выражение, которое делится на каждый знаменатель. Но удобнее брать самое простое — тогда меньше вычислений и сокращать придётся меньше.

Знаменатели — одночлены. Коэффициент общего знаменателя — НОК коэффициентов, а каждая переменная берётся с наибольшим показателем, с которым она встречается. Для $$3a$$ и $$2a^2$$ это $$6a^2$$ ; для $$4x^3y$$ и $$6xy^2$$ — $$12x^3y^2$$ .

Знаменатели — многочлены. Сначала их раскладывают на множители: выносят общий множитель, применяют формулы сокращённого умножения. Потом в общий знаменатель берут каждый множитель столько раз, сколько он входит в «самый богатый» знаменатель. Например, $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$ и $$2x - 6 = 2(x - 3)$$ , общий знаменатель $$2(x - 3)(x + 3)$$ .

Если знаменатели отличаются только знаком, например $$a - b$$ и $$b - a$$ , общий знаменатель не нужно перемножать. Достаточно заметить, что $$b - a = -(a - b)$$ , и поменять знак перед дробью: $\dfrac{c}{b - a} = -\dfrac{c}{a - b}$ .

Дополнительный множитель — это частное от деления общего знаменателя на знаменатель дроби. Для $\dfrac{x}{3a}$ при общем знаменателе $$6a^2$$ он равен $$6a^2 : 3a = 2a$$ .

Сумма дроби и целого выражения

Целое выражение — тоже дробь, только со знаменателем 1: $a + 2 = \dfrac{a + 2}{1}$ . Его дополнительный множитель равен всему общему знаменателю. Поэтому $a + 2 - \dfrac{3}{a} = \dfrac{a(a + 2) - 3}{a} = \dfrac{a^2 + 2a - 3}{a}$ .

Как решать

Разложите знаменатели на множители, если это многочлены. Противоположные множители ( $$a - b$$ и $$b - a$$ ) сделайте одинаковыми, поменяв знак перед дробью.
Составьте наименьший общий знаменатель.
Найдите дополнительный множитель каждой дроби: разделите общий знаменатель на её знаменатель. Целому выражению достаётся весь общий знаменатель.
Умножьте каждый числитель на свой дополнительный множитель. Числитель в скобках, особенно если перед дробью стоит минус.
Запишите одну дробь с общим знаменателем, раскройте скобки и приведите подобные.
Попробуйте сократить результат: разложите числитель на множители. Укажите, при каких значениях переменных выражение имеет смысл, если этого требует задача.

Разобранные примеры

База

Знаменатели-одночлены

Условие

Выполните сложение $\dfrac{5}{6x^2} + \dfrac{7}{9xy}$ .

Решение

НОК чисел 6 и 9 равен 18; переменная $$x$$ входит в знаменатели с наибольшим показателем 2, $$y$$ — с показателем 1. Общий знаменатель $$18x^2y$$ .

Дополнительные множители: $$18x^2y : 6x^2 = 3y$$ и $$18x^2y : 9xy = 2x$$ .

\dfrac{5}{6x^2} + \dfrac{7}{9xy} = \dfrac{5 \cdot 3y + 7 \cdot 2x}{18x^2y} = \dfrac{15y + 14x}{18x^2y}.

Ответ: (15y + 14x)/(18x²y)

Средний

Знаменатели нужно разложить на множители

Условие

Упростите выражение $\dfrac{4}{x^2 - 2x} - \dfrac{2}{x - 2}$ .

Решение

$$x^2 - 2x = x(x - 2)$$ . Общий знаменатель $$x(x - 2)$$ , дополнительный множитель второй дроби $$x$$ :

\dfrac{4}{x(x - 2)} - \dfrac{2x}{x(x - 2)} = \dfrac{4 - 2x}{x(x - 2)} = \dfrac{-2(x - 2)}{x(x - 2)} = -\dfrac{2}{x}.

Сокращение возможно при $x \ne 2$ — при этом значении исходное выражение не имеет смысла.

Ответ: −2/x

Сложный

Целое выражение минус дробь

Условие

Представьте в виде дроби $c + 2 - \dfrac{c^2 + 9}{c - 2}$ .

Решение

Запишем $$c + 2$$ как дробь со знаменателем 1. Общий знаменатель $$c - 2$$ , дополнительный множитель целого выражения $$c - 2$$ :

\dfrac{(c + 2)(c - 2) - (c^2 + 9)}{c - 2} = \dfrac{c^2 - 4 - c^2 - 9}{c - 2} = \dfrac{-13}{c - 2} = -\dfrac{13}{c - 2}.

Ответ: −13/(c − 2)

Типичные ошибки

Теряют скобки, когда перед дробью стоит минус

Почему неверно

В записи $\dfrac{3x}{2y} - \dfrac{x - 1}{4y} = \dfrac{6x - x - 1}{4y}$ вычитается не весь числитель $$x - 1$$ , а только $$x$$ . Минус относится ко всему числителю второй дроби, поэтому знак у $$1$$ получается неверным.

Как правильно

Сразу ставьте числитель в скобки: $\dfrac{6x - (x - 1)}{4y} = \dfrac{6x - x + 1}{4y} = \dfrac{5x + 1}{4y}$ .

Не замечают противоположные множители

Почему неверно

В сумме $\dfrac{a}{a - b} + \dfrac{b}{b - a}$ берут общий знаменатель $$(a - b)(b - a)$$ . Ответ получается громоздким, и его трудно сократить; часто на этом пути ещё и путаются в знаках.

Как правильно

$$b - a = -(a - b)$$ , поэтому $\dfrac{a}{a - b} + \dfrac{b}{b - a} = \dfrac{a}{a - b} - \dfrac{b}{a - b} = \dfrac{a - b}{a - b} = 1$ при $a \ne b$ .

Прибавляют целое выражение только к числителю

Почему неверно

Пишут $a + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a + 1}{b}$ . Но $\dfrac{a + 1}{b} = \dfrac{a}{b} + \dfrac{1}{b}$ , то есть $$a$$ здесь незаметно поделили на $$b$$ .

Как правильно

У целого выражения знаменатель 1, его дополнительный множитель — весь общий знаменатель: $a + \dfrac{1}{b} = \dfrac{ab + 1}{b}$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Выполните сложение $\dfrac{2}{3a} + \dfrac{5}{6a}$ .

Подсказка

Общий знаменатель $$6a$$ , дополнительный множитель первой дроби равен $$2$$ .

Решение

$\dfrac{2}{3a} + \dfrac{5}{6a} = \dfrac{4 + 5}{6a} = \dfrac{9}{6a} = \dfrac{3}{2a}$ .

Ответ

3/(2a)

База Задача 2

Выполните вычитание $\dfrac{x}{4y} - \dfrac{3}{10y}$ .

Подсказка

НОК чисел 4 и 10 равно 20.

Решение

Общий знаменатель $$20y$$ , дополнительные множители $$5$$ и $$2$$ , поэтому $\dfrac{x}{4y} - \dfrac{3}{10y} = \dfrac{5x - 6}{20y}$ .

Ответ

(5x − 6)/(20y)

Средний Задача 3

Выполните вычитание $\dfrac{3}{m^2n} - \dfrac{2}{mn^3}$ .

Подсказка

Каждую переменную берите в общий знаменатель с наибольшим показателем.

Решение

Общий знаменатель $$m^2n^3$$ , дополнительные множители $$n^2$$ и $$m$$ , поэтому $\dfrac{3}{m^2n} - \dfrac{2}{mn^3} = \dfrac{3n^2 - 2m}{m^2n^3}$ .

Ответ

(3n² − 2m)/(m²n³)

Средний Задача 4

Представьте в виде дроби $2a + 1 - \dfrac{4a^2 + 3}{2a}$ .

Подсказка

Запишите $$2a + 1$$ как дробь со знаменателем 1, дополнительный множитель — $$2a$$ .

Решение

$2a + 1 - \dfrac{4a^2 + 3}{2a} = \dfrac{2a(2a + 1) - (4a^2 + 3)}{2a} = \dfrac{4a^2 + 2a - 4a^2 - 3}{2a} = \dfrac{2a - 3}{2a}$ .

Ответ

(2a − 3)/(2a)

Сложный Задача 5

Упростите выражение $\dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{12}{x^2 - 4}$ .

Подсказка

Разложите $$x^2 - 4$$ на множители.

Решение

$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ — это и есть общий знаменатель. $\dfrac{3(x + 2) - 12}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{3x - 6}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{3(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{3}{x + 2}$ при $x \ne 2$ , $x \ne -2$ .

Ответ

3/(x + 2)

Сложный Задача 6

Выполните сложение $\dfrac{5}{2c - 6} + \dfrac{c}{9 - 3c}$ .

Подсказка

$$9 - 3c = -3(c - 3)$$ — вынесите минус перед дробью.

Решение

$$2c - 6 = 2(c - 3)$$ , $$9 - 3c = -3(c - 3)$$ , поэтому сумма равна $\dfrac{5}{2(c - 3)} - \dfrac{c}{3(c - 3)} = \dfrac{15 - 2c}{6(c - 3)}$ .

Ответ

(15 − 2c)/(6(c − 3))

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Начните с обычных дробей: сколько будет $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$ ? Нарисуйте две полоски по 6 клеток и закрасьте половину одной и треть другой — станет видно, что это $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$ . Затем замените числа буквами: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ — «режем» на $$ab$$ частей и получаем $\dfrac{b + a}{ab}$ . Дальше всё то же самое, только знаменатели сначала раскладывают на множители.

Вопросы для проверки понимания:

Как найти дополнительный множитель, если общий знаменатель уже известен?
Почему числитель второй дроби нужно брать в скобки, если перед ней стоит минус?
Чему равен общий знаменатель дробей со знаменателями $$x - 5$$ и $$5 - x$$ ?

На что обратить внимание. Чаще всего ошибаются не в выборе знаменателя, а в знаках при раскрытии скобок. Попросите ребёнка проверить ответ подстановкой: взять, например, $$a = 2$$ , $$b = 3$$ и посчитать исходное выражение и ответ — числа должны совпасть.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 4	75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109