Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что при всех допустимых значениях переменных 1/((a − b)(b − c)) + 1/((c − a)(a − b)) + 1/((b − c)(c − a)) = 0.
Решение
Допустимые значения: \(a \ne b\), \(b \ne c\), \(c \ne a\). Общий знаменатель — \((a - b)(b - c)(c - a)\). Дополнительные множители: к первой дроби \(c - a\), ко второй \(b - c\), к третьей \(a - b\).
\[\dfrac{(c - a) + (b - c) + (a - b)}{(a - b)(b - c)(c - a)} = \dfrac{0}{(a - b)(b - c)(c - a)} = 0.\]
Значение выражения равно нулю при всех допустимых значениях.
Ответ
Тождество доказано: выражение равно 0
Почему так
Общий знаменатель — произведение трёх разностей, а сумма числителей (c − a) + (b − c) + (a − b) равна нулю.
Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».