Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 235

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить: 5/(y − 3) + 1/(y + 3) − (4y − 18)/(y² − 9).

Решение

Общий знаменатель — $$y^2 - 9 = (y - 3)(y + 3)$$ :

\dfrac{5(y + 3) + (y - 3) - (4y - 18)}{y^2 - 9} = \dfrac{5y + 15 + y - 3 - 4y + 18}{y^2 - 9} = \dfrac{2y + 30}{y^2 - 9}.

Ответ

(2y + 30)/(y² − 9)

Почему так

Знаменатель y² − 9 раскладывается на (y − 3)(y + 3) и служит общим знаменателем.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Упростить: 2a/(2a + 3) + 5/(3 − 2a) − (4a² + 9)/(4a² − 9).

Решение

$\dfrac{5}{3 - 2a} = -\dfrac{5}{2a - 3}$ , общий знаменатель — $$4a^2 - 9 = (2a - 3)(2a + 3)$$ :

\dfrac{2a(2a - 3) - 5(2a + 3) - (4a^2 + 9)}{4a^2 - 9} = \dfrac{4a^2 - 6a - 10a - 15 - 4a^2 - 9}{4a^2 - 9} = \dfrac{-16a - 24}{(2a - 3)(2a + 3)} = \dfrac{-8(2a + 3)}{(2a - 3)(2a + 3)} = -\dfrac{8}{2a - 3} = \dfrac{8}{3 - 2a}.

Ответ

8/(3 − 2a)

Почему так

Меняем знак у знаменателя 3 − 2a, приводим к знаменателю 4a² − 9 и сокращаем на 2a + 3.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Упростить: 4m/(4m² − 1) − (2m + 1)/(6m − 3) + (2m − 1)/(4m + 2).

Решение

Знаменатели: $$(2m - 1)(2m + 1)$$ , $$3(2m - 1)$$ , $$2(2m + 1)$$ . Общий — $$6(2m - 1)(2m + 1)$$ .

\dfrac{6 \cdot 4m - 2(2m + 1)^2 + 3(2m - 1)^2}{6(2m - 1)(2m + 1)} = \dfrac{24m - 8m^2 - 8m - 2 + 12m^2 - 12m + 3}{6(2m - 1)(2m + 1)} = \dfrac{4m^2 + 4m + 1}{6(2m - 1)(2m + 1)}.

$$4m^2 + 4m + 1 = (2m + 1)^2$$ , сокращаем на $$2m + 1$$ :

\dfrac{2m + 1}{6(2m - 1)} = \dfrac{2m + 1}{12m - 6}.

Ответ

(2m + 1)/(12m − 6)

Почему так

Раскладываем знаменатели на множители, общий знаменатель 6(2m − 1)(2m + 1), числитель — полный квадрат.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Упростить: 1/(x + y)² − 2/(x² − y²) + 1/(x − y)².

Решение

Общий знаменатель — $$(x + y)^2(x - y)^2 = (x^2 - y^2)^2$$ :

\dfrac{(x - y)^2 - 2(x - y)(x + y) + (x + y)^2}{(x^2 - y^2)^2}.

Числитель — квадрат разности: $\big((x - y) - (x + y)\big)^2 = (-2y)^2 = 4y^2$ . Итого

\dfrac{4y^2}{(x^2 - y^2)^2}.

Ответ

4y²/(x² − y²)²

Почему так

Числитель после приведения к общему знаменателю — квадрат разности (x − y) − (x + y).

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Упростить: (4a² + 3a + 2)/(a³ − 1) − (1 − 2a)/(a² + a + 1).

Решение

$$a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$$ — общий знаменатель. Вторую дробь домножаем на $$a - 1$$ :

\dfrac{4a^2 + 3a + 2 - (1 - 2a)(a - 1)}{a^3 - 1} = \dfrac{4a^2 + 3a + 2 - (a - 1 - 2a^2 + 2a)}{a^3 - 1} = \dfrac{4a^2 + 3a + 2 + 2a^2 - 3a + 1}{a^3 - 1} = \dfrac{6a^2 + 3}{a^3 - 1}.

Ответ

(6a² + 3)/(a³ − 1)

Почему так

Знаменатель a³ − 1 раскладываем по формуле разности кубов, a² + a + 1 — его множитель.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Упростить: (x − y)/(x² + xy + y²) − 3xy/(x³ − y³) + 1/(x − y).

Решение

Общий знаменатель — $$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$$ :

\dfrac{(x - y)^2 - 3xy + (x^2 + xy + y^2)}{x^3 - y^3} = \dfrac{x^2 - 2xy + y^2 - 3xy + x^2 + xy + y^2}{x^3 - y^3} = \dfrac{2x^2 - 4xy + 2y^2}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} = \dfrac{2(x - y)^2}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}.

Сокращаем на $$x - y$$ :

\dfrac{2(x - y)}{x^2 + xy + y^2} = \dfrac{2x - 2y}{x^2 + xy + y^2}.

Ответ

(2x − 2y)/(x² + xy + y²)

Почему так

Общий знаменатель — разность кубов x³ − y³; числитель сворачивается в 2(x − y)².

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-235/