Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что выражения (ax + by)/((a − b)(x + y)) − (bx − ay)/((a + b)(x + y)) и (a² + b²)/(a² − b²) тождественно равны.
Решение
Преобразуем первое выражение. Общий знаменатель — \((a - b)(a + b)(x + y) = (a^2 - b^2)(x + y)\):
\[\dfrac{(ax + by)(a + b) - (bx - ay)(a - b)}{(a^2 - b^2)(x + y)} = \dfrac{a^2x + abx + aby + b^2y - abx + b^2x + a^2y - aby}{(a^2 - b^2)(x + y)}.\]
В числителе остаётся \(a^2x + b^2x + a^2y + b^2y = (a^2 + b^2)(x + y)\). Сокращаем на \(x + y\):
\[\dfrac{(a^2 + b^2)(x + y)}{(a^2 - b^2)(x + y)} = \dfrac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}.\]
Получили второе выражение (при \(a \ne \pm b\), \(x \ne -y\)) — тождество доказано.
Ответ
Тождество доказано: первое выражение приводится к (a² + b²)/(a² − b²)
Почему так
После приведения к общему знаменателю числитель раскладывается группировкой на (a² + b²)(x + y).
Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».