Задание 237

Запишем знаменатели через одни и те же разности \((a - b)\), \((b - c)\), \((c - a)\):

\(a(a - b)(a - c) = -a(a - b)(c - a)\), \(\;b(b - c)(b - a) = -b(a - b)(b - c)\), \(\;c(c - a)(c - b) = -c(b - c)(c - a)\).

Общий знаменатель — \(-abc(a - b)(b - c)(c - a)\). Числитель: \(bc(b - c) + ac(c - a) + ab(a - b)\).

Раскроем: \(b^2c - bc^2 + ac^2 - a^2c + a^2b - ab^2\). Это выражение равно \(-(a - b)(b - c)(c - a)\) (проверка раскрытием скобок: \((a - b)(b - c)(c - a) = -a^2b + a^2c + ab^2 - ac^2 - b^2c + bc^2\)).

Общий знаменатель — \((x - y)(y - z)(z - x)\). Так как \((x - y)(x - z) = -(x - y)(z - x)\), \((y - x)(y - z) = -(x - y)(y - z)\), \((z - x)(z - y) = -(y - z)(z - x)\),

Числитель: \(x^2y - x^2z + y^2z - xy^2 + xz^2 - yz^2\). Раскрыв \((x - y)(y - z)(z - x)\), получим \(-x^2y + x^2z + xy^2 - xz^2 - y^2z + yz^2\), то есть числитель равен \(-(x - y)(y - z)(z - x)\).