Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 241

Задача 1

Условие (кратко)

а) При каких целых n значение дроби (5n² + 2n + 3)/n является целым числом?

Решение

Представим дробь в виде суммы целого выражения и дроби ( $n \ne 0$ ):

\dfrac{5n^2 + 2n + 3}{n} = 5n + 2 + \dfrac{3}{n}.

При целом $$n$$ число $$5n + 2$$ целое, значит, вся дробь целая тогда и только тогда, когда целым будет $\dfrac{3}{n}$ , то есть $$n$$ — делитель числа 3: $n = \pm1;\ \pm3$ .

Ответ

n = −3; −1; 1; 3

Почему так

Выделяем целую часть; остаток 3/n целый, только когда n — делитель 3.

Подробнее — в теме «Представление дроби в виде суммы дробей».

Задача 2

Условие (кратко)

б) При каких целых n значение дроби (n − 3)²/n является целым числом?

Решение

\dfrac{(n - 3)^2}{n} = \dfrac{n^2 - 6n + 9}{n} = n - 6 + \dfrac{9}{n}, \quad n \ne 0.

Дробь целая, когда $\dfrac{9}{n}$ — целое, то есть $$n$$ — делитель 9: $n = \pm1;\ \pm3;\ \pm9$ .

Ответ

n = −9; −3; −1; 1; 3; 9

Почему так

После выделения целой части остаётся 9/n, поэтому n — делитель числа 9.

Подробнее — в теме «Представление дроби в виде суммы дробей».

Задача 3

Условие (кратко)

в) При каких целых n значение дроби 3n/(n + 2) является целым числом?

Решение

\dfrac{3n}{n + 2} = \dfrac{3(n + 2) - 6}{n + 2} = 3 - \dfrac{6}{n + 2}, \quad n \ne -2.

Нужно, чтобы $$n + 2$$ было делителем 6: $n + 2 \in \{\pm1;\ \pm2;\ \pm3;\ \pm6\}$ .

$n + 2 = 1, 2, 3, 6 \Rightarrow n = -1, 0, 1, 4$ ; $\;n + 2 = -1, -2, -3, -6 \Rightarrow n = -3, -4, -5, -8$ .

Ответ

n = −8; −5; −4; −3; −1; 0; 1; 4

Почему так

Выделяем целую часть 3; остаток 6/(n + 2) целый, когда n + 2 — делитель 6.

Подробнее — в теме «Представление дроби в виде суммы дробей».

Задача 4

Условие (кратко)

г) При каких целых n значение дроби 7n/(n − 4) является целым числом?

Решение

\dfrac{7n}{n - 4} = \dfrac{7(n - 4) + 28}{n - 4} = 7 + \dfrac{28}{n - 4}, \quad n \ne 4.

Нужно, чтобы $$n - 4$$ было делителем 28: $\pm1;\ \pm2;\ \pm4;\ \pm7;\ \pm14;\ \pm28$ .

$n - 4 = 1, 2, 4, 7, 14, 28 \Rightarrow n = 5, 6, 8, 11, 18, 32$ ;

$n - 4 = -1, -2, -4, -7, -14, -28 \Rightarrow n = 3, 2, 0, -3, -10, -24$ .

Ответ

n = −24; −10; −3; 0; 2; 3; 5; 6; 8; 11; 18; 32

Почему так

Выделяем целую часть 7; остаток 28/(n − 4) целый, когда n − 4 — делитель 28.

Подробнее — в теме «Представление дроби в виде суммы дробей».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-241/