Какие равенства верны при всех допустимых x?

\dfrac{x^2+1}{x} = x + \dfrac{1}{x}

\dfrac{2x-1}{x-3} = 2 + \dfrac{5}{x-3}

\dfrac{x^2}{x+1} = x - 1 + \dfrac{1}{x+1}

\dfrac{x+5}{x} = 5 + \dfrac{1}{x}

Представление дроби в виде суммы дробей

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Коротко о главном

Дробь можно разбить на сумму нескольких дробей или на сумму многочлена и дроби. Самый полезный приём — выделение целой части: числитель записывают как «знаменатель, умноженный на что-то, плюс остаток».

\dfrac{P}{Q} = S + \dfrac{R}{Q}, \quad \text{если } P = S \cdot Q + R

Подробное объяснение

С чего начать

Вспомните обычные числа: $\dfrac{17}{5} = 3\dfrac{2}{5}$ , потому что $17 = 3 \cdot 5 + 2$ . Пять пирожков на тарелку — три полные тарелки и ещё 2 пирожка. С алгебраическими дробями работает то же самое, только вместо чисел — многочлены.

Сложить дроби мы уже умеем, и ответ всегда один. Обратная задача — разбить дробь на сумму — имеет много решений. Например, $\dfrac{x+3}{x} = 1 + \dfrac{3}{x}$ , но и $\dfrac{x+3}{x} = \dfrac{2}{x} + \dfrac{x+1}{x}$ . Поэтому в задачах всегда уточняют, какой вид нужен.

Выделение целой части

Чтобы выделить целую часть дроби $\dfrac{2x+7}{x+2}$ , подгоняем числитель под знаменатель: $$2x + 7 = 2(x+2) + 3$$ . Тогда

\dfrac{2x+7}{x+2} = \dfrac{2(x+2)}{x+2} + \dfrac{3}{x+2} = 2 + \dfrac{3}{x+2}.

Здесь $$2$$ — «целая часть», а $\dfrac{3}{x+2}$ — остаток. Если числитель квадратный, удобно выделить квадрат: $$x^2 - 4x + 1 = (x-2)^2 - 3$$ . Можно и делить многочлен на двучлен «уголком», как числа: частное — целая часть, остаток — числитель новой дроби.

Разложение на сумму дробей

Иногда нужно наоборот: дробь со знаменателем $$(x-1)(x+2)$$ записать как $\dfrac{a}{x-1} + \dfrac{b}{x+2}$ . Числа $$a$$ и $$b$$ пока неизвестны — отсюда название «метод неопределённых коэффициентов». Складываем дроби справа, получаем числитель вида $(a+b)x + (\ldots)$ и требуем, чтобы он совпадал с данным числителем: коэффициенты при $$x$$ равны, свободные члены равны. Выходит система из двух уравнений.

Зачем это нужно

Главное применение — задачи на целые числа. Пусть $$n$$ целое и надо понять, когда дробь $\dfrac{2n+7}{n+2}$ — целое число. После выделения целой части получаем $2 + \dfrac{3}{n+2}$ . Слагаемое $$2$$ целое всегда, поэтому вся сумма целая только тогда, когда $$n + 2$$ делит число 3. Делителей у числа 3 всего четыре: $$-3$$ , $$-1$$ , $$1$$ , $$3$$ . Значит, вариантов конечное число, и их можно просто перебрать.

Так же решают уравнения в целых числах вида $$xy + 2x - y = 5$$ : выражают одну переменную через другую и выделяют целую часть.

Как решать

Найдите, при каких значениях переменной знаменатель равен нулю, — эти значения исключите.
Запишите числитель как «знаменатель × многочлен + число» (подбором, через квадрат или делением уголком).
Разбейте дробь: многочлен плюс дробь с числом в числителе.
Если нужны целые значения — выпишите все делители этого числа, и положительные, и отрицательные.
Для каждого делителя найдите переменную и значение дроби.
Проверьте один-два ответа подстановкой в исходную дробь.

Для разложения $\dfrac{P}{(x-p)(x-q)}$ на $\dfrac{a}{x-p} + \dfrac{b}{x-q}$ : сложите дроби справа, приравняйте коэффициенты числителей, решите систему, сделайте проверку.

Разобранные примеры

База

Выделение целой части

Условие

Представьте дробь $\dfrac{2x+7}{x+2}$ в виде суммы числа и дроби.

Решение

$$2x + 7 = 2x + 4 + 3 = 2(x+2) + 3$$ . Поэтому при $x \ne -2$

\dfrac{2x+7}{x+2} = 2 + \dfrac{3}{x+2}.

Проверка при $$x = 4$$ : слева $\dfrac{15}{6} = 2{,}5$ , справа $2 + \dfrac{3}{6} = 2{,}5$ .

Ответ: 2 + 3/(x + 2)

Средний

Разложение на сумму двух дробей

Условие

Представьте дробь $\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}$ в виде суммы дробей со знаменателями $$x-1$$ и $$x+2$$ .

Решение

Пусть $\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{a}{x-1} + \dfrac{b}{x+2}$ . Складываем:

\dfrac{a(x+2) + b(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{(a+b)x + (2a-b)}{(x-1)(x+2)}.

Числители совпадают, если $$a + b = 5$$ и $$2a - b = 1$$ . Складывая уравнения, получаем $$3a = 6$$ , $$a = 2$$ , тогда $$b = 3$$ .

Проверка: $$2(x+2) + 3(x-1) = 5x + 1$$ .

Ответ: 2/(x − 1) + 3/(x + 2)

Сложный

Когда дробь целая

Условие

При каких целых $$n$$ значение дроби $\dfrac{n^2+3n-1}{n+1}$ — целое число? Какие это значения?

Решение

Разделим уголком или подберём: $$(n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2$$ , значит, $$n^2 + 3n - 1 = (n+1)(n+2) - 3$$ и

\dfrac{n^2+3n-1}{n+1} = n + 2 - \dfrac{3}{n+1}.

$$n + 2$$ целое, поэтому нужно, чтобы $$n + 1$$ делило 3: $n + 1 \in \{-3;\ -1;\ 1;\ 3\}$ .

$$n = -4$$ , значение $$-2 + 1 = -1$$ ;
$$n = -2$$ , значение $$0 + 3 = 3$$ ;
$$n = 0$$ , значение $$2 - 3 = -1$$ ;
$$n = 2$$ , значение $$4 - 1 = 3$$ .

Ответ: n = −4; −2; 0; 2; значения дроби −1 и 3

Типичные ошибки

Берут только положительные делители

Почему неверно

Для $\dfrac{3}{n+2}$ ученик пишет « $$n + 2 = 1$$ или $$3$$ » и теряет половину ответов. Но $\dfrac{3}{-1} = -3$ и $\dfrac{3}{-3} = -1$ — тоже целые числа.

Как правильно

Выписывайте делители парами со знаками: $\pm 1$ , $\pm 3$ . Только если по условию числа натуральные, отрицательные варианты отбрасывают — и это нужно обосновать.

Неверно находят остаток

Почему неверно

Записывают $$2x + 7 = 2(x+2) + 7$$ , забывая, что $$2(x+2) = 2x + 4$$ уже «съело» часть числителя. Получается $2 + \dfrac{7}{x+2}$ вместо $2 + \dfrac{3}{x+2}$ .

Как правильно

Остаток = числитель минус то, что вынесли: $$2x + 7 - 2(x+2) = 3$$ . После разложения раскройте скобки и сравните с исходным числителем.

Делят каждое слагаемое на часть знаменателя

Почему неверно

$\dfrac{x+5}{x+1} \ne \dfrac{x}{x} + \dfrac{5}{1}$ : на сумму в знаменателе так делить нельзя. Делить почленно можно только числитель: $\dfrac{x+5}{x} = 1 + \dfrac{5}{x}$ .

Как правильно

Подгоняйте числитель под весь знаменатель: $$x + 5 = (x+1) + 4$$ , поэтому $\dfrac{x+5}{x+1} = 1 + \dfrac{4}{x+1}$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Выделите целую часть дроби $\dfrac{3x+5}{x+1}$ .

Подсказка

Запишите числитель как $3(x+1) + \ldots$

Решение

$$3x + 5 = 3(x+1) + 2$$ , поэтому

\dfrac{3x+5}{x+1} = \dfrac{3(x+1)}{x+1} + \dfrac{2}{x+1} = 3 + \dfrac{2}{x+1}.

Ответ

3 + 2/(x + 1)

База Задача 2

Представьте дробь $\dfrac{x^2+4x+1}{x}$ в виде суммы многочлена и дроби.

Подсказка

Разделите на $$x$$ каждое слагаемое числителя.

Решение

$\dfrac{x^2+4x+1}{x} = \dfrac{x^2}{x} + \dfrac{4x}{x} + \dfrac{1}{x} = x + 4 + \dfrac{1}{x}$ при $x \ne 0$ .

Ответ

x + 4 + 1/x

Средний Задача 3

Представьте дробь $\dfrac{3x+7}{(x+1)(x+3)}$ в виде суммы двух дробей со знаменателями $$x+1$$ и $$x+3$$ .

Подсказка

Запишите $\dfrac{a}{x+1} + \dfrac{b}{x+3}$ , сложите и приравняйте числители.

Решение

$\dfrac{a}{x+1} + \dfrac{b}{x+3} = \dfrac{(a+b)x + (3a+b)}{(x+1)(x+3)}$ . Нужно $$a + b = 3$$ и $$3a + b = 7$$ . Вычитая, получаем $$2a = 4$$ , $$a = 2$$ , $$b = 1$$ .

\dfrac{3x+7}{(x+1)(x+3)} = \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{1}{x+3}.

Ответ

2/(x + 1) + 1/(x + 3)

Средний Задача 4

При каких целых $$x$$ значение дроби $\dfrac{2x+9}{x+3}$ — целое число?

Подсказка

Выделите целую часть и посмотрите, на что должно делиться число в числителе остатка.

Решение

$\dfrac{2x+9}{x+3} = \dfrac{2(x+3) + 3}{x+3} = 2 + \dfrac{3}{x+3}$ .

Дробь целая, когда $$x + 3$$ — делитель числа 3: $x + 3 \in \{-3;\ -1;\ 1;\ 3\}$ , то есть $x = -6;\ -4;\ -2;\ 0$ .

Ответ

x = −6; −4; −2; 0

Сложный Задача 5

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению $$xy + 2x - y = 5$$ .

Подсказка

Выразите $$x$$ через $$y$$ и выделите целую часть дроби.

Решение

$$x(y+2) = 5 + y$$ . При $$y = -2$$ получаем $$0 = 3$$ — не подходит. Значит,

x = \dfrac{y+5}{y+2} = 1 + \dfrac{3}{y+2}.

$y + 2 \in \{-3;\ -1;\ 1;\ 3\}$ , откуда $$y = -5$$ , $$x = 0$$ ; $$y = -3$$ , $$x = -2$$ ; $$y = -1$$ , $$x = 4$$ ; $$y = 1$$ , $$x = 2$$ .

Ответ

(0; −5), (−2; −3), (4; −1), (2; 1)

Сложный Задача 6

Найдите все точки графика функции $y = \dfrac{x^2+2x+5}{x+1}$ , у которых обе координаты — целые числа.

Подсказка

$$x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$$ .

Решение

$y = \dfrac{(x+1)^2 + 4}{x+1} = x + 1 + \dfrac{4}{x+1}$ , $x \ne -1$ .

$$x + 1$$ — делитель числа 4: $x + 1 \in \{\pm 1;\ \pm 2;\ \pm 4\}$ .

$$x = 0$$ , $$y = 5$$ ; $$x = -2$$ , $$y = -5$$ ; $$x = 1$$ , $$y = 4$$ ; $$x = -3$$ , $$y = -4$$ ; $$x = 3$$ , $$y = 5$$ ; $$x = -5$$ , $$y = -5$$ .

Ответ

(0; 5), (−2; −5), (1; 4), (−3; −4), (3; 5), (−5; −5)

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Начните с чисел: $\dfrac{23}{4}$ — сколько целых? $23 = 5 \cdot 4 + 3$ , значит, $5\dfrac{3}{4}$ . Потом то же с буквой: $\dfrac{x+5}{x+1}$ — «сколько раз $$x + 1$$ помещается в $$x + 5$$ и что остаётся?» Ответ $$1$$ и $$4$$ . Затем вопрос: когда $\dfrac{4}{x+1}$ — целое? Пусть ребёнок сам перечислит делители 4 — с минусами.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему у задачи «разбить дробь на сумму» много решений, а у задачи «сложить дроби» — одно? 2) Сколько целых делителей у числа 6? 3) Почему для поиска целых значений дроби нужно выделить именно целую часть?

На что обратить внимание. Чаще всего теряют отрицательные делители и ошибаются в остатке. Приучите делать проверку: раскрыть скобки после выделения целой части и подставить один найденный ответ в исходную дробь.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 9	201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211