Задача 1
Условие (кратко)
а) Найти a и b, при которых выполняется тождество 5x/((x − 2)(x + 3)) = a/(x − 2) + b/(x + 3).
Решение
Приведём правую часть к общему знаменателю:
\[\dfrac{a}{x - 2} + \dfrac{b}{x + 3} = \dfrac{a(x + 3) + b(x - 2)}{(x - 2)(x + 3)} = \dfrac{(a + b)x + 3a - 2b}{(x - 2)(x + 3)}.\]
Числители должны совпадать: \((a + b)x + (3a - 2b) = 5x\). Сравниваем коэффициенты:
\[\begin{cases} a + b = 5, \\ 3a - 2b = 0. \end{cases}\]
Из второго \(a = \dfrac{2b}{3}\); тогда \(\dfrac{5b}{3} = 5\), \(b = 3\), \(a = 2\).
Проверка: \(\dfrac{2}{x - 2} + \dfrac{3}{x + 3} = \dfrac{2x + 6 + 3x - 6}{(x - 2)(x + 3)} = \dfrac{5x}{(x - 2)(x + 3)}\).
Ответ
a = 2; b = 3
Почему так
Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем коэффициенты числителей.
Подробнее — в теме «Представление дроби в виде суммы дробей».