Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что при m ≠ n, m ≠ 0, n ≠ 0 значение выражения 2/(mn) : (1/m − 1/n)² − (m² + n²)/(m − n)² не зависит от значений переменных.
Решение
\(\dfrac{1}{m} - \dfrac{1}{n} = \dfrac{n - m}{mn}\), \(\;\left(\dfrac{n - m}{mn}\right)^2 = \dfrac{(m - n)^2}{m^2n^2}\).
\[\dfrac{2}{mn} : \dfrac{(m - n)^2}{m^2n^2} = \dfrac{2}{mn} \cdot \dfrac{m^2n^2}{(m - n)^2} = \dfrac{2mn}{(m - n)^2}.\]
\[\dfrac{2mn}{(m - n)^2} - \dfrac{m^2 + n^2}{(m - n)^2} = \dfrac{-(m^2 - 2mn + n^2)}{(m - n)^2} = -\dfrac{(m - n)^2}{(m - n)^2} = -1.\]
При всех допустимых \(m\) и \(n\) выражение равно \(-1\), то есть от значений переменных не зависит.
Ответ
Выражение при всех допустимых значениях равно −1
Почему так
Выполняем действия по порядку; в числителе получается −(m − n)², и дробь сокращается до −1.
Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».