Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Рациональное выражение с несколькими действиями упрощают так же, как числовое: сначала скобки, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание. Любое рациональное выражение можно записать в виде одной рациональной дроби.
Подробное объяснение
Вспомните пример из 5 класса: \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\). Никто не складывает сначала \(\dfrac12\) и \(\dfrac13\) — умножение идёт раньше. С буквенными дробями всё точно так же, только вместо чисел — многочлены. Хорошая аналогия — рецепт: если сначала поставить тесто в духовку, а потом добавить муку, пирога не будет. Порядок шагов важен.
Что значит «преобразовать в дробь»
Мы уже умеем складывать, вычитать, умножать и делить рациональные дроби, и после каждого действия снова получается дробь. Значит, сколько бы действий ни было в выражении, его можно свести к одной дроби \(\dfrac{P}{Q}\), где \(P\) и \(Q\) — многочлены. Целое выражение тоже годится: \(x+1=\dfrac{x+1}{1}\). Задание «упростите», «выполните действия», «представьте в виде дроби» означает именно это: получить одну дробь, и по возможности несократимую.
Порядок действий
- Действия в скобках.
- Возведение в степень.
- Умножение и деление — по порядку слева направо.
- Сложение и вычитание — слева направо.
Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь, деление на многочлен — умножением на дробь \(\dfrac{1}{\text{многочлен}}\).
По действиям или цепочкой
Решение можно записывать по действиям: «1) … 2) … 3) …» — каждое действие отдельной строкой. Так легче найти ошибку и удобно, когда выражение длинное. А можно писать цепочкой — одной строкой со знаками «=»: результат каждого шага сразу подставляется в выражение. Цепочка короче, но в ней легко потерять знак. Обе записи правильные, выбирайте ту, в которой меньше путаетесь.
Как не утонуть в вычислениях
Главный приём — раскладывать на множители до перемножения. Если в числителе \(a^2-9\), а в знаменателе \(a+3\), запишите \((a-3)(a+3)\) и сразу сократите. Перемножать скобки, а потом искать общий множитель, — долгий путь с большим риском ошибки.
Следите за противоположными множителями: \(2-x=-(x-2)\), поэтому \(\dfrac{x-2}{2-x}=-1\). А квадраты противоположных выражений равны: \((2y-x)^2=(x-2y)^2\).
Доказательство тождеств
Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Чтобы доказать его, левую часть тождественными преобразованиями приводят к правой (или правую к левой, или обе части к одному выражению). Подстановка одного-двух чисел — только проверка, но не доказательство. Задание «докажите, что значение выражения не зависит от переменных» решается так же: упрощаем и получаем число.
Как решать задачи
- Найдите, в каком порядке выполняются действия, и пронумеруйте их.
- Разложите на множители все числители и знаменатели, где это возможно.
- Выполните действия по порядку, сокращая дробь после каждого шага.
- Проверьте, что ответ — несократимая дробь или многочлен, а минус стоит перед дробью.
- Отметьте, при каких значениях переменных выражение не имеет смысла.
Разобранные примеры
Скобка и деление
Упростите выражение \(\left(\dfrac{a}{b}+1\right):\dfrac{a+b}{b^2}\).
-
\(\dfrac{a}{b}+1=\dfrac{a+b}{b}\).
-
\(\dfrac{a+b}{b}:\dfrac{a+b}{b^2}=\dfrac{(a+b)\cdot b^2}{b\cdot(a+b)}=b\).
Умножение раньше вычитания
Представьте в виде дроби: \(\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{x+3}{x^2-4}\cdot\dfrac{x+2}{x+3}\).
Запишем цепочкой. Сначала умножение, затем вычитание:
\(\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{(x+3)(x+2)}{(x-2)(x+2)(x+3)}=\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x-1}{x-2}\).
Доказательство тождества
Докажите тождество \(\left(\dfrac{a}{a-3}-\dfrac{3}{a+3}\right):\dfrac{a^2+9}{a^2-9}=1\).
Преобразуем левую часть.
-
\(\dfrac{a}{a-3}-\dfrac{3}{a+3}=\dfrac{a(a+3)-3(a-3)}{(a-3)(a+3)}=\dfrac{a^2+9}{a^2-9}\).
-
\(\dfrac{a^2+9}{a^2-9}:\dfrac{a^2+9}{a^2-9}=1\).
Левая часть равна правой при всех \(a\ne\pm3\).
Типичные ошибки
В выражении \(\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{x^2-x}{x^2-1}:\dfrac{x}{2}\) ученик сначала складывает две первые дроби, а потом делит сумму. Но деление «сильнее» сложения, так получается совсем другое выражение.
Перед началом пронумеруйте действия: 1) деление, 2) сложение. Скобки меняют порядок только там, где они реально стоят.
Сокращают \(\dfrac{x-2}{2-x}\) так, будто это \(1\). На самом деле \(2-x=-(x-2)\), и дробь равна \(-1\). Из-за одного потерянного минуса меняется весь ответ.
Сразу вынесите минус: \(2-x=-(x-2)\) — и только потом сокращайте. Помните, что \((2-x)^2=(x-2)^2\): в квадрате минус исчезает.
Подставили \(a=5\), обе части дали \(1\) — «доказано». Но совпадение при одном значении не гарантирует равенства при всех остальных.
Преобразуйте одну часть в другую тождественными преобразованиями. Подстановку используйте только как проверку себя.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какое действие в выражении \(\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}\cdot\dfrac{m}{n}\) выполняется первым?
Показать ответ
Ответ: Б) Умножение
Скобок нет, поэтому умножение выполняется раньше вычитания — как с числами.
-
Какие выражения тождественно равны 1 при всех допустимых значениях переменных?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{1}{x}\); В) \(\dfrac{a+b}{b+a}\); Г) \(\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{x}\)
\(\dfrac{x-1}{1-x}=-1\), потому что числитель и знаменатель — противоположные выражения; остальные три равны 1.
-
Упростите \(\left(1+\dfrac{1}{x}\right):\dfrac{x+1}{x}\) и введите полученное число.
Показать ответ
Ответ: 1
\(1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x}\), поэтому частное равно 1.
-
Как правильно доказать тождество \(A = B\), где \(A\) и \(B\) — рациональные выражения?
Показать ответ
Ответ: Б) Тождественными преобразованиями привести одну часть к другой или обе к одному выражению
Проверка одним числом ничего не доказывает — равенство должно выполняться при всех допустимых значениях, это и дают тождественные преобразования.
-
Чему равно значение выражения \(\dfrac{x^2-9}{x}\cdot\dfrac{x}{x+3}+3\) при \(x=2026\)?
Показать ответ
Ответ: 2026
Произведение равно \(x-3\), а \(x-3+3=x\), то есть \(2026\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Упростите выражение \(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\cdot\dfrac{xy}{x+y}\).
Подсказка
Сначала сложите дроби в скобках, общий знаменатель \(xy\).
Решение
-
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{y+x}{xy}\).
-
\(\dfrac{x+y}{xy}\cdot\dfrac{xy}{x+y}=1\).
Ответ
Упростите выражение \(\dfrac{a^2-4}{a}:\left(1+\dfrac{2}{a}\right)\).
Подсказка
Запишите \(1\) как \(\dfrac{a}{a}\), а \(a^2-4\) разложите на множители.
Решение
-
\(1+\dfrac{2}{a}=\dfrac{a+2}{a}\).
-
\(\dfrac{(a-2)(a+2)}{a}:\dfrac{a+2}{a}=\dfrac{(a-2)(a+2)\cdot a}{a\cdot(a+2)}=a-2\).
Ответ
Упростите выражение \(\left(\dfrac{m}{m-1}-1\right)\cdot\dfrac{m^2-1}{3}\).
Подсказка
Разность в скобках равна дроби с числителем 1.
Решение
-
\(\dfrac{m}{m-1}-1=\dfrac{m-(m-1)}{m-1}=\dfrac{1}{m-1}\).
-
\(\dfrac{1}{m-1}\cdot\dfrac{(m-1)(m+1)}{3}=\dfrac{m+1}{3}\).
Ответ
Упростите выражение \(\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{x^2-x}{x^2-1}:\dfrac{x}{2}\).
Подсказка
Скобок нет, поэтому деление выполняется раньше сложения.
Решение
-
\(\dfrac{x^2-x}{x^2-1}:\dfrac{x}{2}=\dfrac{x(x-1)\cdot 2}{(x-1)(x+1)\cdot x}=\dfrac{2}{x+1}\).
-
\(\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{4}{x+1}\).
Ответ
Докажите, что при всех допустимых значениях \(a\) и \(b\) значение выражения \(\left(\dfrac{a}{a-b}-\dfrac{a}{a+b}\right):\dfrac{2ab}{a^2-b^2}\) одно и то же. Найдите его.
Подсказка
Приведите дроби в скобках к общему знаменателю \(a^2-b^2\).
Решение
-
\(\dfrac{a}{a-b}-\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{a(a+b)-a(a-b)}{a^2-b^2}=\dfrac{2ab}{a^2-b^2}\).
-
\(\dfrac{2ab}{a^2-b^2}:\dfrac{2ab}{a^2-b^2}=1\).
При всех допустимых \(a\) и \(b\) (\(a\ne0\), \(b\ne0\), \(a\ne\pm b\)) значение равно 1.
Ответ
Велосипедист доехал от дома до озера со скоростью 15 км/ч, а обратно той же дорогой ехал со скоростью 10 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути.
Подсказка
Обозначьте расстояние \(s\) и найдите всё время движения.
Решение
- \(v_1 = 15\) км/ч
- \(v_2 = 10\) км/ч
- участки одинаковой длины \(s\)
- \(v_{\text{ср}}\)
Время в пути: \(\dfrac{s}{15}+\dfrac{s}{10}=\dfrac{2s+3s}{30}=\dfrac{s}{6}\) ч, весь путь \(2s\) км.
\(v_{\text{ср}}=2s:\dfrac{s}{6}=2s\cdot\dfrac{6}{s}=12\) км/ч.
Средняя скорость не равна среднему арифметическому \(12{,}5\) км/ч.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Напишите на листке числовой пример \(\dfrac12+\dfrac13\cdot\dfrac34\) и спросите, что делаем сначала. Потом замените числа буквами — порядок не изменится. Предложите ребёнку перед решением пронумеровать действия карандашом над знаками.
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему \(\dfrac{x-2}{2-x}\) равно \(-1\), а не \(1\)? 2) Чем доказательство тождества отличается от проверки подстановкой? 3) Зачем раскладывать многочлены на множители до перемножения?
На что обратить внимание. Большинство ошибок здесь — не в правилах дробей, а в знаках и в порядке действий. Хорошая привычка — подставить в исходное выражение и в ответ одно и то же «неудобное» число (например, 3) и сравнить: если не совпало, ошибка точно есть.