Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что при любом целом a и дробном x значение выражения (a − (a² + x²)/(a + x)) · (2a/x + 4a/(a − x)) — чётное число.
Решение
Первая скобка:
\[a - \dfrac{a^2 + x^2}{a + x} = \dfrac{a^2 + ax - a^2 - x^2}{a + x} = \dfrac{ax - x^2}{a + x} = \dfrac{x(a - x)}{a + x}.\]
Вторая скобка:
\[\dfrac{2a}{x} + \dfrac{4a}{a - x} = \dfrac{2a(a - x) + 4ax}{x(a - x)} = \dfrac{2a^2 + 2ax}{x(a - x)} = \dfrac{2a(a + x)}{x(a - x)}.\]
Произведение:
\[\dfrac{x(a - x)}{a + x} \cdot \dfrac{2a(a + x)}{x(a - x)} = 2a.\]
Если \(x\) дробное (нецелое), а \(a\) целое, то \(x \ne 0\) и \(x \ne \pm a\), все знаменатели не равны нулю. Значение выражения \(2a\) при целом \(a\) — чётное число.
Ответ
Тождество доказано: выражение равно 2a — чётное число при целом a
Почему так
После упрощения выражение равно 2a; условие «x дробное» гарантирует, что знаменатели не обращаются в нуль.
Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».