Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что при любом x > 2 значение выражения ((x + 1)/(2x) + 4/(x + 3) − 2) : (x + 1)/(x + 3) − (x² − 5x + 3)/(2x) — отрицательное число.
Решение
Скобка (общий знаменатель \(2x(x + 3)\)):
\[\dfrac{(x + 1)(x + 3) + 8x - 4x(x + 3)}{2x(x + 3)} = \dfrac{x^2 + 4x + 3 + 8x - 4x^2 - 12x}{2x(x + 3)} = \dfrac{3 - 3x^2}{2x(x + 3)} = \dfrac{-3(x - 1)(x + 1)}{2x(x + 3)}.\]
Деление:
\[\dfrac{-3(x - 1)(x + 1)}{2x(x + 3)} \cdot \dfrac{x + 3}{x + 1} = \dfrac{-3(x - 1)}{2x} = \dfrac{3 - 3x}{2x}.\]
Вычитание:
\[\dfrac{3 - 3x - x^2 + 5x - 3}{2x} = \dfrac{2x - x^2}{2x} = \dfrac{x(2 - x)}{2x} = \dfrac{2 - x}{2}.\]
При \(x > 2\) числитель \(2 - x < 0\), значит, значение выражения отрицательно.
Ответ
Выражение равно (2 − x)/2, при x > 2 оно отрицательно
Почему так
Упрощаем выражение до (2 − x)/2 и оцениваем знак при x > 2.
Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».