Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 247

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить: ab + ab/(a + b) · ((a + b)/(a − b) − a − b).

Решение

Скобка: $\dfrac{a + b}{a - b} - (a + b) = (a + b)\left(\dfrac{1}{a - b} - 1\right) = (a + b) \cdot \dfrac{1 - a + b}{a - b}$ .

Умножение:

\dfrac{ab}{a + b} \cdot \dfrac{(a + b)(1 - a + b)}{a - b} = \dfrac{ab(1 - a + b)}{a - b}.

Сложение:

ab + \dfrac{ab(1 - a + b)}{a - b} = \dfrac{ab(a - b) + ab(1 - a + b)}{a - b} = \dfrac{ab(a - b + 1 - a + b)}{a - b} = \dfrac{ab}{a - b}.

Ответ

ab/(a − b)

Почему так

Выносим a + b за скобку, сокращаем при умножении и приводим сумму к общему знаменателю a − b.

Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Упростить: ((y² − xy)/(x² + xy) − xy + y²) · x/(x − y) + y/(x + y).

Решение

Скобка: $\dfrac{y(y - x)}{x(x + y)} - y(x - y) = -y(x - y)\left(\dfrac{1}{x(x + y)} + 1\right) = -\dfrac{y(x - y)\,(1 + x^2 + xy)}{x(x + y)}$ .

Умножение:

-\dfrac{y(x - y)(1 + x^2 + xy)}{x(x + y)} \cdot \dfrac{x}{x - y} = -\dfrac{y(1 + x^2 + xy)}{x + y}.

Сложение:

-\dfrac{y + x^2y + xy^2}{x + y} + \dfrac{y}{x + y} = -\dfrac{x^2y + xy^2}{x + y} = -\dfrac{xy(x + y)}{x + y} = -xy.

Ответ

−xy

Почему так

Выносим общий множитель −y(x − y) в скобке, сокращаем при умножении и складываем дроби с одинаковым знаменателем.

Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Упростить: (1/(2a − b)² + 2/(4a² − b²) + 1/(2a + b)²) · (4a² + 4ab + b²)/(16a).

Решение

Скобка: общий знаменатель $$(2a - b)^2(2a + b)^2$$ , числитель — квадрат суммы:

\dfrac{(2a + b)^2 + 2(2a - b)(2a + b) + (2a - b)^2}{(2a - b)^2(2a + b)^2} = \dfrac{\big((2a + b) + (2a - b)\big)^2}{(2a - b)^2(2a + b)^2} = \dfrac{16a^2}{(2a - b)^2(2a + b)^2}.

Умножение ( $$4a^2 + 4ab + b^2 = (2a + b)^2$$ ):

\dfrac{16a^2}{(2a - b)^2(2a + b)^2} \cdot \dfrac{(2a + b)^2}{16a} = \dfrac{a}{(2a - b)^2}.

Ответ

a/(2a − b)²

Почему так

Числитель суммы в скобке — квадрат суммы (2a + b) + (2a − b) = 4a.

Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Упростить: 4c²/(c − 2)⁴ : (1/(c + 2)² + 1/(c − 2)² + 2/(c² − 4)).

Решение

Скобка: общий знаменатель $$(c - 2)^2(c + 2)^2$$ , числитель — квадрат суммы:

\dfrac{(c - 2)^2 + (c + 2)^2 + 2(c - 2)(c + 2)}{(c - 2)^2(c + 2)^2} = \dfrac{\big((c - 2) + (c + 2)\big)^2}{(c - 2)^2(c + 2)^2} = \dfrac{4c^2}{(c - 2)^2(c + 2)^2}.

Деление:

\dfrac{4c^2}{(c - 2)^4} \cdot \dfrac{(c - 2)^2(c + 2)^2}{4c^2} = \dfrac{(c + 2)^2}{(c - 2)^2}, \quad c \ne 0,\ c \ne \pm2.

Ответ

(c + 2)²/(c − 2)²

Почему так

Сумма в скобке сворачивается по формуле квадрата суммы, деление заменяем умножением на обратную дробь.

Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-247/