Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 248

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить: (x − 4xy/(x + y) + y) · (x + 4xy/(x − y) − y).

Решение

Первая скобка:

\dfrac{(x + y)^2 - 4xy}{x + y} = \dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{x + y} = \dfrac{(x - y)^2}{x + y}.

Вторая скобка:

\dfrac{(x - y)^2 + 4xy}{x - y} = \dfrac{(x + y)^2}{x - y}.

Произведение:

\dfrac{(x - y)^2}{x + y} \cdot \dfrac{(x + y)^2}{x - y} = (x - y)(x + y) = x^2 - y^2.

Ответ

x² − y²

Почему так

В каждой скобке числитель сворачивается в полный квадрат, после чего дроби сокращаются.

Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Упростить: (a − (1 − 2a²)/(1 − a) + 1) : (1 − 1/(1 − a)).

Решение

Делимое (знаменатель $$1 - a$$ ):

\dfrac{(a + 1)(1 - a) - (1 - 2a^2)}{1 - a} = \dfrac{1 - a^2 - 1 + 2a^2}{1 - a} = \dfrac{a^2}{1 - a}.

Делитель:

1 - \dfrac{1}{1 - a} = \dfrac{1 - a - 1}{1 - a} = \dfrac{-a}{1 - a}.

Частное:

\dfrac{a^2}{1 - a} \cdot \dfrac{1 - a}{-a} = -a, \quad a \ne 0,\ a \ne 1.

Ответ

−a

Почему так

Упрощаем делимое и делитель по отдельности, затем умножаем на обратную дробь.

Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-248/