Задача 1
Условие (кратко)
Доказать тождество 1/(p − 2q) + 6q/(4q² − p²) − 2/(p + 2q) = −1/(2p) · ((p² + 4q²)/(p² − 4q²) + 1).
Решение
Левая часть. \(\dfrac{6q}{4q^2 - p^2} = -\dfrac{6q}{p^2 - 4q^2}\), общий знаменатель — \(p^2 - 4q^2 = (p - 2q)(p + 2q)\):
\[\dfrac{(p + 2q) - 6q - 2(p - 2q)}{p^2 - 4q^2} = \dfrac{p + 2q - 6q - 2p + 4q}{p^2 - 4q^2} = \dfrac{-p}{p^2 - 4q^2}.\]
Правая часть:
\[\dfrac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} + 1 = \dfrac{p^2 + 4q^2 + p^2 - 4q^2}{p^2 - 4q^2} = \dfrac{2p^2}{p^2 - 4q^2}, \qquad -\dfrac{1}{2p} \cdot \dfrac{2p^2}{p^2 - 4q^2} = -\dfrac{p}{p^2 - 4q^2}.\]
Обе части равны \(-\dfrac{p}{p^2 - 4q^2}\) (при \(p \ne 0\), \(p \ne \pm2q\)) — тождество доказано.
Ответ
Тождество доказано: обе части равны −p/(p² − 4q²)
Почему так
Обе части упрощаем к одной и той же дроби −p/(p² − 4q²).
Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».