Задача 1
Условие (кратко)
Докажите тождество Л. Эйлера: a³ + b³ + (b(2a³ + b³)/(a³ − b³))³ = (a(a³ + 2b³)/(a³ − b³))³.
Решение
Тождество верно при \(a \ne b\) (иначе знаменатель \(a^3 - b^3\) равен нулю).
Чтобы не писать громоздкие степени, обозначим \(p = a^3\), \(q = b^3\). Тогда левая часть равна
\[p + q + \dfrac{q(2p + q)^3}{(p - q)^3} = \dfrac{(p + q)(p - q)^3 + q(2p + q)^3}{(p - q)^3}.\]
Раскроем скобки в числителе. Так как \((p - q)^3 = p^3 - 3p^2q + 3pq^2 - q^3\), то
\[(p + q)(p - q)^3 = p^4 - 2p^3q + 2pq^3 - q^4.\]
Так как \((2p + q)^3 = 8p^3 + 12p^2q + 6pq^2 + q^3\), то
\[q(2p + q)^3 = 8p^3q + 12p^2q^2 + 6pq^3 + q^4.\]
Сумма: \(p^4 + 6p^3q + 12p^2q^2 + 8pq^3 = p\,(p^3 + 6p^2q + 12pq^2 + 8q^3) = p\,(p + 2q)^3\).
Значит, левая часть равна
\[\dfrac{p(p + 2q)^3}{(p - q)^3} = \dfrac{a^3(a^3 + 2b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} = \left(\dfrac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3,\]
то есть правой части. Тождество доказано.
Ответ
Тождество доказано (при a ≠ b).
Почему так
Левую часть приводим к общему знаменателю (a³ − b³)³ и раскладываем числитель — получается куб правой части.
Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».