Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения (3/2·a² − 2ab + 2/3·b²)/(1/4·a² − 1/9·b²) + 6b/(3/4·a + 1/2·b) не зависит от a и b.
Решение
Числитель первой дроби — полный квадрат:
\[\dfrac{3}{2}a^2 - 2ab + \dfrac{2}{3}b^2 = 6\left(\dfrac{1}{4}a^2 - \dfrac{1}{3}ab + \dfrac{1}{9}b^2\right) = 6\left(\dfrac{1}{2}a - \dfrac{1}{3}b\right)^2.\]
Знаменатель — разность квадратов:
\[\dfrac{1}{4}a^2 - \dfrac{1}{9}b^2 = \left(\dfrac{1}{2}a - \dfrac{1}{3}b\right)\left(\dfrac{1}{2}a + \dfrac{1}{3}b\right).\]
Сократим на \(\dfrac{1}{2}a - \dfrac{1}{3}b \ne 0\):
\[\dfrac{6\left(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b\right)}{\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b} = \dfrac{3a - 2b}{\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b}.\]
Во второй дроби \(\dfrac{3}{4}a + \dfrac{1}{2}b = \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{2}a + \dfrac{1}{3}b\right)\), поэтому
\[\dfrac{6b}{\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b} = \dfrac{4b}{\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b}.\]
Сумма:
\[\dfrac{3a - 2b + 4b}{\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b} = \dfrac{3a + 2b}{\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b} = \dfrac{6\left(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b\right)}{\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b} = 6.\]
При всех допустимых \(a\) и \(b\) значение выражения равно \(6\) — от \(a\) и \(b\) оно не зависит.
Ответ
Значение выражения всегда равно 6.
Почему так
Числитель первой дроби — полный квадрат, знаменатель — разность квадратов; после сокращения и сложения дробей переменные сокращаются.
Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».