Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 252

Задача 1

Условие (кратко)

а) Представить в виде рациональной дроби (x − yz/(y − z)) / (y − xz/(x − z)).

Решение

Упростим числитель и знаменатель большой дроби:

x - \dfrac{yz}{y - z} = \dfrac{xy - xz - yz}{y - z}, \qquad y - \dfrac{xz}{x - z} = \dfrac{xy - yz - xz}{x - z}.

Числители у них одинаковые:

\(xy - xz - yz\)

. Делим:

\dfrac{xy - xz - yz}{y - z} : \dfrac{xy - xz - yz}{x - z} = \dfrac{(xy - xz - yz)(x - z)}{(y - z)(xy - xz - yz)} = \dfrac{x - z}{y - z}.

Ответ

(x − z)/(y − z)

Почему так

Числитель и знаменатель приводим к виду одной дроби, затем делим дроби и сокращаем общий множитель.

Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Представить в виде рациональной дроби ((a − x)/a + x/(a − x)) / ((a + x)/a − x/(a + x)).

Решение

Числитель:

\dfrac{a - x}{a} + \dfrac{x}{a - x} = \dfrac{(a - x)^2 + ax}{a(a - x)} = \dfrac{a^2 - ax + x^2}{a(a - x)}.

Знаменатель:

\dfrac{a + x}{a} - \dfrac{x}{a + x} = \dfrac{(a + x)^2 - ax}{a(a + x)} = \dfrac{a^2 + ax + x^2}{a(a + x)}.

Делим:

\dfrac{a^2 - ax + x^2}{a(a - x)} \cdot \dfrac{a(a + x)}{a^2 + ax + x^2} = \dfrac{(a + x)(a^2 - ax + x^2)}{(a - x)(a^2 + ax + x^2)} = \dfrac{a^3 + x^3}{a^3 - x^3}.

В последнем шаге использованы формулы суммы и разности кубов.

Ответ

(a³ + x³)/(a³ − x³)

Почему так

Складываем и вычитаем дроби в числителе и знаменателе, делим, а произведения сворачиваем по формулам суммы и разности кубов.

Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Представить в виде рациональной дроби 1/(1 + 1/(1 + 1/x)).

Решение

Упрощаем «снизу вверх»:

1 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x + 1}{x}, \qquad \dfrac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \dfrac{x}{x + 1},

1 + \dfrac{x}{x + 1} = \dfrac{2x + 1}{x + 1}, \qquad \dfrac{1}{\frac{2x + 1}{x + 1}} = \dfrac{x + 1}{2x + 1}.

Ответ

(x + 1)/(2x + 1)

Почему так

Многоэтажную дробь упрощают с самого нижнего этажа, каждый раз заменяя сумму одной дробью.

Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Представить в виде рациональной дроби 1/(1 − 1/(1 + 1/x)).

Решение

Как в пункте в), $\dfrac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \dfrac{x}{x + 1}$ . Тогда

1 - \dfrac{x}{x + 1} = \dfrac{x + 1 - x}{x + 1} = \dfrac{1}{x + 1}, \qquad \dfrac{1}{\frac{1}{x + 1}} = x + 1.

Выражение имеет смысл при

x \ne 0

x \ne -1

Ответ

x + 1

Почему так

Многоэтажную дробь упрощают с самого нижнего этажа; 1 разделить на 1/(x + 1) даёт x + 1.

Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-252/