Задание 253

Выражение имеет смысл, когда все знаменатели не равны нулю и делитель \(\dfrac{3x}{x^2 - 4}\) не равен нулю.

1. \(x - 2 \ne 0\), \(x + 2 \ne 0\), \(x^2 - 4 \ne 0\) — значит, \(x \ne 2\) и \(x \ne -2\).

2. На дробь можно делить, только если она не равна нулю: \(\dfrac{3x}{x^2 - 4} \ne 0\), то есть \(x \ne 0\).

Итак, выражение имеет смысл при всех \(x\), кроме \(-2\), \(0\) и \(2\).

Проверяем знаменатели снизу вверх.

1. \(x \ne 0\).

2. \(1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x} \ne 0\), значит, \(x \ne 1\).

3. \(\dfrac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \dfrac{x}{x - 1}\), тогда \(1 - \dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{x - 1 - x}{x - 1} = -\dfrac{1}{x - 1}\) — эта дробь в нуль не обращается ни при каком \(x\).

Выражение имеет смысл при всех \(x\), кроме \(0\) и \(1\).