Коротко о главном
Выражения с переменными бывают целыми (нет деления на выражение с переменной) и дробными (такое деление есть); вместе их называют рациональными. Дробное выражение имеет смысл только при тех значениях переменных, при которых все знаменатели отличны от нуля.
Подробное объяснение
Представьте, что пиццу делят поровну между гостями. Если гостей \(n\), каждому достаётся \(\dfrac{1}{n}\) пиццы. При \(n = 4\) — четверть, при \(n = 8\) — восьмая часть. А при \(n = 0\)? Делить не на кого, и вопрос «сколько достанется каждому» теряет смысл. Ровно так же ведёт себя дробь с переменной в знаменателе: при одних значениях переменной её можно посчитать, а при других — нельзя.
Целые и дробные выражения
Целое выражение составлено из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения (значит, и возведения в натуральную степень) и деления на число, не равное нулю. Примеры: \(5x^2y\), \((a - b)^2 + 3ab\), \(\dfrac{m + n}{4}\). Последнее тоже целое: делим на число \(4\), а не на выражение с переменной.
Дробное выражение содержит деление на выражение с переменными: \(\dfrac{7}{x}\), \(\dfrac{a + 1}{a - 2}\), \(b^2 + \dfrac{1}{b}\).
Целые и дробные выражения вместе называют рациональными.
Рациональная дробь
Дробь, у которой числитель и знаменатель — многочлены, называют рациональной (или алгебраической) дробью. Например, \(\dfrac{x + 3}{x - 1}\), \(\dfrac{2}{a^2 + b^2}\), \(\dfrac{c - 4}{9}\). Число — тоже многочлен, поэтому \(\dfrac{c - 4}{9}\) — рациональная дробь, хотя само выражение целое.
Когда выражение имеет смысл
Целое выражение можно вычислить при любых значениях переменных: сложение, вычитание и умножение выполнимы всегда.
Дробное выражение имеет смысл, только когда все знаменатели не равны нулю — на нуль делить нельзя. Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми.
Полезное свойство: произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому \(x(x - 3) \ne 0\) означает сразу два условия: \(x \ne 0\) и \(x \ne 3\).
Ещё одна подсказка: выражения вида \(x^2 + 5\) или \((x - 1)^2 + 2\) всегда положительны, ведь квадрат не бывает отрицательным. Знаменатель такого вида никогда не равен нулю.
Когда дробь равна нулю
Дробь \(\dfrac{A}{B}\) равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Это двойное условие: \(A = 0\) и \(B \ne 0\). Корень числителя, при котором и знаменатель равен нулю, не подходит.
Как решать
- Чтобы понять, целое выражение или дробное, ищите деление на выражение с переменной. Деление на число не считается.
- Чтобы найти допустимые значения, выпишите все знаменатели и потребуйте, чтобы каждый был не равен нулю.
- Знаменатель-произведение разложите на множители: каждый множитель не равен нулю.
- Если знаменатель — квадрат плюс положительное число, он никогда не равен нулю: допустимы все значения.
- Чтобы найти, когда дробь равна нулю, приравняйте к нулю числитель, найдите корни и выбросьте те, при которых знаменатель равен нулю.
Разобранные примеры
Значение дроби
Найдите значение дроби \(\dfrac{3x - 2}{x + 1}\) при \(x = 4\).
Подставляем \(x = 4\): числитель \(3 \cdot 4 - 2 = 10\), знаменатель \(4 + 1 = 5\).
\(\dfrac{10}{5} = 2\).
Допустимые значения выражения с двумя дробями
Найдите допустимые значения переменной в выражении \(\dfrac{5}{x^2 - 4x} + \dfrac{x}{x + 3}\).
Первый знаменатель: \(x^2 - 4x = x(x - 4) \ne 0\), отсюда \(x \ne 0\) и \(x \ne 4\).
Второй знаменатель: \(x + 3 \ne 0\), отсюда \(x \ne -3\).
Все три условия должны выполняться одновременно.
Когда дробь равна нулю
При каких значениях \(x\) дробь \(\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}\) равна нулю?
Числитель: \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) = 0\) при \(x = 3\) или \(x = -3\).
Знаменатель: \(x^2 + 3x = x(x + 3)\). При \(x = -3\) он равен нулю — это значение не подходит. При \(x = 3\) знаменатель \(9 + 9 = 18 \ne 0\).
Типичные ошибки
В выражении \(\dfrac{2x - 1}{7}\) делят на число \(7\), а не на выражение с переменной. Такое выражение целое и имеет смысл при любом \(x\).
Смотрите на знаменатель: если в нём есть переменная — выражение дробное, если только число (не нуль) — целое.
Для \(\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\) ученик пишет: «числитель равен нулю при \(x = \pm 2\), ответ: \(\pm 2\)». Но при \(x = 2\) знаменатель тоже равен нулю — дробь не имеет смысла.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю и знаменатель не равен нулю. Каждый найденный корень подставьте в знаменатель. Здесь ответ: \(x = -2\).
Из \(x(x - 5) \ne 0\) пишут только \(x \ne 5\), забыв про множитель \(x\). Но при \(x = 0\) произведение тоже равно нулю.
Произведение не равно нулю, когда не равен нулю каждый множитель: \(x \ne 0\) и \(x \ne 5\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какое из выражений дробное?
Показать ответ
Ответ: Б) \(\dfrac{3}{x} + 1\)
Только в \(\dfrac{3}{x} + 1\) есть деление на выражение с переменной; в остальных делят на число или не делят вовсе.
-
Какие значения \(x\) недопустимы для выражения \(\dfrac{x + 1}{x(x - 5)}\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(x = 0\); В) \(x = 5\)
Знаменатель \(x(x - 5)\) равен нулю при \(x = 0\) и \(x = 5\). При \(x = -1\) нулю равен числитель — это допустимо.
-
При каком значении \(x\) дробь \(\dfrac{2x - 6}{x + 1}\) равна нулю?
Показать ответ
Ответ: 3
\(2x - 6 = 0\) при \(x = 3\), знаменатель \(3 + 1 = 4 \ne 0\).
-
При каких значениях \(x\) дробь \(\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\) равна нулю?
Показать ответ
Ответ: В) Только при \(x = -1\)
Числитель равен нулю при \(x = \pm 1\), но при \(x = 1\) обращается в нуль знаменатель, и дробь не имеет смысла.
-
Найдите значение дроби \(\dfrac{a + b}{a - b}\) при \(a = 7\), \(b = 3\).
Показать ответ
Ответ: 2,5
\(\dfrac{7 + 3}{7 - 3} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Какие из выражений целые, а какие дробные: \(\dfrac{x + 2}{5}\), \(\dfrac{3}{x + 2}\), \(a^2 - 4ab\), \(\dfrac{1}{a} + a\)?
Подсказка
Деление на число не делает выражение дробным, а деление на выражение с переменной — делает.
Решение
\(\dfrac{x + 2}{5}\) — деление на число \(5\), целое.
\(a^2 - 4ab\) — многочлен, целое.
\(\dfrac{3}{x + 2}\) — деление на \(x + 2\), дробное.
\(\dfrac{1}{a} + a\) — деление на \(a\), дробное.
Ответ
Найдите значение дроби \(\dfrac{2a - 1}{a + 4}\) при \(a = 3\).
Подсказка
Подставьте \(3\) вместо \(a\) и в числитель, и в знаменатель.
Решение
\(\dfrac{2 \cdot 3 - 1}{3 + 4} = \dfrac{5}{7}\).
Ответ
Найдите допустимые значения переменной в выражении \(\dfrac{x + 1}{x^2 - 9x}\).
Подсказка
Разложите знаменатель на множители.
Решение
\(x^2 - 9x = x(x - 9)\). Знаменатель не равен нулю, если \(x \ne 0\) и \(x - 9 \ne 0\).
Допустимы все \(x\), кроме \(0\) и \(9\).
Ответ
При каком значении \(x\) дробь \(\dfrac{x - 4}{x + 6}\) равна нулю?
Подсказка
Приравняйте к нулю числитель и проверьте знаменатель.
Решение
\(x - 4 = 0\) при \(x = 4\); знаменатель при этом \(4 + 6 = 10 \ne 0\).
Ответ
При каких значениях \(x\) дробь \(\dfrac{x^2 - 16}{x^2 + 4x}\) равна нулю?
Подсказка
Найдите корни числителя и отбросьте те, при которых знаменатель равен нулю.
Решение
\(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) = 0\) при \(x = 4\) или \(x = -4\).
Знаменатель \(x^2 + 4x = x(x + 4)\): при \(x = -4\) он равен нулю, это значение не подходит. При \(x = 4\) знаменатель \(16 + 16 = 32 \ne 0\).
Дробь равна нулю только при \(x = 4\).
Ответ
Найдите наибольшее значение дроби \(\dfrac{12}{x^2 - 6x + 13}\) и значение \(x\), при котором оно достигается.
Подсказка
Выделите в знаменателе полный квадрат.
Решение
\(x^2 - 6x + 13 = (x^2 - 6x + 9) + 4 = (x - 3)^2 + 4 \ge 4\).
Знаменатель наименьший, равный \(4\), при \(x = 3\). Числитель положителен, поэтому дробь наибольшая при наименьшем знаменателе: \(\dfrac{12}{4} = 3\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите 12 конфет и спросите, сколько достанется каждому, если делить на 3, на 4, на 6 человек. Потом спросите: а если делить на 0 человек? Ребёнок поймёт, что ответа нет. Затем напишите \(\dfrac{12}{x - 2}\) и спросите, какое \(x\) «запрещено» — при каком знаменатель станет нулём (\(x = 2\)).
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему \(\dfrac{x}{5}\) — целое выражение, а \(\dfrac{5}{x}\) — дробное? 2) При каких \(x\) имеет смысл \(\dfrac{1}{x(x + 1)}\)? 3) Может ли дробь \(\dfrac{x - 3}{x - 3}\) быть равна нулю?
На что обратить внимание. Главное в теме — привычка всегда спрашивать «а не равен ли знаменатель нулю?». Если ребёнок находит нули дроби, проверьте, подставляет ли он корни в знаменатель. На последний вопрос правильный ответ — нет: числитель равен нулю только при \(x = 3\), а тогда и знаменатель равен нулю.