Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если z — среднее гармоническое положительных чисел a и b, причём a ≠ b, то 1/(z − a) + 1/(z − b) = 1/a + 1/b.
Решение
Среднее гармоническое чисел \(a\) и \(b\) — число \(z\), обратное среднему арифметическому их обратных: \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right)\), откуда \(z = \dfrac{2ab}{a + b}\).
Найдём разности:
\[z - a = \dfrac{2ab - a^2 - ab}{a + b} = \dfrac{a(b - a)}{a + b}, \qquad z - b = \dfrac{2ab - ab - b^2}{a + b} = \dfrac{b(a - b)}{a + b}.\]
Они не равны нулю, так как \(a \ne b\). Тогда
\[\dfrac{1}{z - a} + \dfrac{1}{z - b} = \dfrac{a + b}{a(b - a)} - \dfrac{a + b}{b(b - a)} = \dfrac{a + b}{b - a} \cdot \left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}\right) = \dfrac{a + b}{b - a} \cdot \dfrac{b - a}{ab} = \dfrac{a + b}{ab}.\]
А \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a + b}{ab}\) — то же самое. Равенство доказано.
Ответ
Равенство доказано.
Почему так
Подставляем z = 2ab/(a + b), упрощаем z − a и z − b и складываем обратные к ним дроби.
Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».