Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 260

Дополнительные упражнения к главе I

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти область определения функции y = 36/((x + 1)² − (x − 1)²) и построить её график.

Решение

Упростим знаменатель: $$(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 4x$$ .

Значит, $y = \dfrac{36}{4x} = \dfrac{9}{x}$ . Область определения: $x \ne 0$ .

Графиком является гипербола $y = \dfrac{9}{x}$ , ветви в I и III четвертях. Несколько точек:

$$x$$	$$-9$$	$$-3$$	$$-1$$	$$1$$	$$3$$	$$9$$
$$y$$	$$-1$$	$$-3$$	$$-9$$	$$9$$	$$3$$	$$1$$

Ответ

Область определения — все x, кроме 0; график — гипербола y = 9/x (ветви в I и III четвертях).

Почему так

Знаменатель по формуле разности квадратов равен 4x, и функция сводится к обратной пропорциональности y = 9/x.

Подробнее — в теме «Функция y = k/x и её график».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти область определения функции y = (18 − 12x)/(x² − 3x) − 6/(3 − x) и построить её график.

Решение

Знаменатели: $x^2 - 3x = x(x - 3) \ne 0$ и $3 - x \ne 0$ . Область определения: $x \ne 0$ , $x \ne 3$ .

Упростим, заменив $-\dfrac{6}{3 - x} = \dfrac{6}{x - 3}$ :

y = \dfrac{18 - 12x}{x(x - 3)} + \dfrac{6x}{x(x - 3)} = \dfrac{18 - 6x}{x(x - 3)} = \dfrac{-6(x - 3)}{x(x - 3)} = -\dfrac{6}{x}.

График — гипербола $y = -\dfrac{6}{x}$ (ветви во II и IV четвертях) без точки с абсциссой $$3$$ , то есть с «выколотой» точкой $$(3; -2)$$ .

$$x$$	$$-6$$	$$-3$$	$$-2$$	$$-1$$	$$1$$	$$2$$	$$6$$
$$y$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$6$$	$$-6$$	$$-3$$	$$-1$$

Ответ

Область определения — все x, кроме 0 и 3; график — гипербола y = −6/x с выколотой точкой (3; −2).

Почему так

После упрощения получается y = −6/x, но значение x = 3 не входит в область определения, поэтому эта точка гиперболы выколота.

Подробнее — в теме «Функция y = k/x и её график».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти область определения функции y = 16/((2 − x)² − (2 + x)²) и построить её график.

Решение

Знаменатель: $$(2 - x)^2 - (2 + x)^2 = (4 - 4x + x^2) - (4 + 4x + x^2) = -8x$$ .

Значит, $y = \dfrac{16}{-8x} = -\dfrac{2}{x}$ . Область определения: $x \ne 0$ .

График — гипербола $y = -\dfrac{2}{x}$ , ветви во II и IV четвертях.

$$x$$	$$-4$$	$$-2$$	$$-1$$	$$1$$	$$2$$	$$4$$
$$y$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$2$$	$$-2$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$

Ответ

Область определения — все x, кроме 0; график — гипербола y = −2/x (ветви во II и IV четвертях).

Почему так

Знаменатель по формулам квадрата разности и суммы равен −8x, и функция сводится к y = −2/x.

Подробнее — в теме «Функция y = k/x и её график».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти область определения функции y = (3x(x + 1) − 3x² + 15)/(x(x + 5)) и построить её график.

Решение

Знаменатель $x(x + 5) \ne 0$ : область определения $x \ne 0$ , $x \ne -5$ .

Числитель: $$3x^2 + 3x - 3x^2 + 15 = 3x + 15 = 3(x + 5)$$ . Тогда

y = \dfrac{3(x + 5)}{x(x + 5)} = \dfrac{3}{x}.

График — гипербола $y = \dfrac{3}{x}$ (ветви в I и III четвертях) с выколотой точкой при $$x = -5$$ : $y = -\dfrac{3}{5} = -0{,}6$ , точка $$(-5; -0{,}6)$$ .

$$x$$	$$-3$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$3$$
$$y$$	$$-1$$	$$-3$$	$$-6$$	$$6$$	$$3$$	$$1$$

Ответ

Область определения — все x, кроме 0 и −5; график — гипербола y = 3/x с выколотой точкой (−5; −0,6).

Почему так

После сокращения на x + 5 остаётся y = 3/x, но x = −5 не входит в область определения, поэтому эта точка выколота.

Подробнее — в теме «Функция y = k/x и её график».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-260/