Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Обратная пропорциональность — это функция вида \(y = \dfrac{k}{x}\), где \(k \ne 0\). Она определена при всех \(x\), кроме нуля, а её график — гипербола из двух ветвей: при \(k > 0\) в I и III четвертях, при \(k < 0\) во II и IV.
Подробное объяснение
Откуда берётся такая зависимость
Бак на 60 литров наполняют из крана. Если кран даёт 10 л в минуту, бак наполнится за 6 минут, если 20 л — за 3 минуты, если 30 л — за 2 минуты. Напор вырос вдвое — время уменьшилось вдвое. Произведение напора \(v\) на время \(t\) всегда равно 60, поэтому \(t = \dfrac{60}{v}\).
Такие зависимости встречаются часто: время в пути при заданном расстоянии, количество товара на заданную сумму, ширина прямоугольника заданной площади.
Определение
Обратной пропорциональностью называют функцию, которую можно задать формулой \(y = \dfrac{k}{x}\), где \(x\) — независимая переменная, а \(k\) — число, не равное нулю. Число \(k\) называют коэффициентом.
Главное свойство: произведение \(x \cdot y\) всегда равно \(k\). Поэтому если \(x\) увеличить в несколько раз, \(y\) уменьшится во столько же раз. Отсюда и название — «обратная» пропорциональность.
Если известна одна точка графика \((x_0;\ y_0)\), коэффициент находится сразу: \(k = x_0 y_0\).
Область определения
Делить на нуль нельзя, поэтому \(x = 0\) не входит в область определения. Все остальные числа, и положительные, и отрицательные, входят. Значение \(y\) тоже никогда не бывает равно нулю: дробь \(\dfrac{k}{x}\) при \(k \ne 0\) нулю не равна.
Как выглядит график
Возьмём \(y = \dfrac{6}{x}\). При \(x = 1;\ 2;\ 3;\ 6\) получаем \(y = 6;\ 3;\ 2;\ 1\). При противоположных \(x = -1;\ -2;\ -3;\ -6\) значения тоже противоположные: \(-6;\ -3;\ -2;\ -1\).
Если отметить эти точки и соединить плавными линиями, получится гипербола. У неё две ветви, и между собой они не соединяются.
- Чем больше \(|x|\), тем ближе ветвь к оси \(x\), но ось она никогда не достигает.
- Чем ближе \(x\) к нулю, тем круче ветвь уходит вверх или вниз, приближаясь к оси \(y\), но тоже её не касается.
- Ветви симметричны друг другу относительно начала координат: точка \((2;\ 3)\) лежит на графике, и точка \((-2;\ -3)\) тоже.
Где лежат ветви, зависит от знака \(k\):
- \(k > 0\) — \(x\) и \(y\) одного знака, ветви в I и III четвертях;
- \(k < 0\) — \(x\) и \(y\) разных знаков, ветви во II и IV четвертях.
График \(y = -\dfrac{6}{x}\) получается из графика \(y = \dfrac{6}{x}\) зеркальным отражением относительно оси \(x\).
Как решать задачи
- Найти значение функции: подставить \(x\) в формулу и разделить \(k\) на \(x\).
- Найти \(x\) по значению \(y\): из \(xy = k\) получить \(x = \dfrac{k}{y}\).
- Задать функцию по точке: вычислить \(k = x_0 y_0\) и записать \(y = \dfrac{k}{x}\).
- Проверить, лежит ли точка на графике: подставить абсциссу в формулу и сравнить результат с ординатой.
- Построить график: составить таблицу для 4–5 положительных \(x\) (удобно брать делители \(k\)), дописать противоположные им \(x\) и \(y\), отметить точки и провести две плавные ветви, не задевая осей.
- Решить уравнение графически: построить на одних осях гиперболу и второй график, найти абсциссы точек пересечения и проверить их подстановкой.
Разобранные примеры
Задать функцию по точке
График обратной пропорциональности проходит через точку \((-4;\ 2)\). Задайте функцию формулой и укажите, в каких четвертях лежит график.
Координаты точки удовлетворяют формуле \(y = \dfrac{k}{x}\), поэтому \(k = xy = (-4) \cdot 2 = -8\).
Функция: \(y = -\dfrac{8}{x}\). Так как \(k < 0\), ветви графика лежат во II и IV четвертях.
Построить гиперболу
Постройте график функции \(y = \dfrac{4}{x}\).
Составим таблицу для положительных \(x\):
| \(x\) | 0,5 | 1 | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 8 | 4 | 2 | 1 | 0,5 |
Для \(x = -0{,}5;\ -1;\ -2;\ -4;\ -8\) значения противоположные: \(-8;\ -4;\ -2;\ -1;\ -0{,}5\).
Отмечаем точки и проводим через точки с положительными абсциссами одну плавную ветвь (I четверть), через точки с отрицательными — другую (III четверть). Ветви приближаются к осям, но не пересекают их.
Решить уравнение графически
Решите графически уравнение \(\dfrac{2}{x} = x + 1\).
Строим гиперболу \(y = \dfrac{2}{x}\) по точкам \((1;\ 2)\), \((2;\ 1)\), \((-1;\ -2)\), \((-2;\ -1)\) и прямую \(y = x + 1\) по точкам \((0;\ 1)\) и \((-1;\ 0)\).
Графики пересекаются в точках \((1;\ 2)\) и \((-2;\ -1)\).
Проверка: \(\dfrac{2}{1} = 2 = 1 + 1\); \(\dfrac{2}{-2} = -1 = -2 + 1\). Оба значения подходят.
Типичные ошибки
При \(x = 0\) функция не определена, поэтому на графике нет точки с абсциссой 0. Значение \(y\) тоже не бывает нулём, так что график не пересекает ни одну из осей.
Строить две отдельные ветви: одну по точкам с положительными \(x\), другую — с отрицательными. Каждая ветвь только приближается к осям.
У функции \(y = -\dfrac{6}{x}\) коэффициент \(k = -6\). Положительному \(x\) здесь соответствует отрицательный \(y\), поэтому ветви лежат во II и IV четвертях, а не в I и III.
Перед построением выписать \(k\) вместе со знаком и посчитать хотя бы одну точку, например при \(x = 1\): \(y = -6\) — точка в IV четверти.
\(y = \dfrac{x}{5}\) — это прямая пропорциональность \(y = 0{,}2x\), её график — прямая. Обратная пропорциональность — когда \(x\) стоит в знаменателе: \(y = \dfrac{5}{x}\).
Проверять, постоянно ли произведение \(xy\). Для \(y = \dfrac{5}{x}\) оно всегда равно 5, а для \(y = \dfrac{x}{5}\) постоянно частное \(\dfrac{y}{x}\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
В каких координатных четвертях расположен график функции \(y = -\dfrac{5}{x}\)?
Показать ответ
Ответ: Б) Во II и IV
Здесь \(k = -5 < 0\), поэтому \(x\) и \(y\) всегда разных знаков — ветви во II и IV четвертях.
-
Какие из функций являются обратной пропорциональностью?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(y = \dfrac{7}{x}\); В) \(y = -\dfrac{1}{2x}\)
Обратная пропорциональность имеет вид \(y = \dfrac{k}{x}\), \(k \ne 0\). Функция \(-\dfrac{1}{2x}\) — это \(\dfrac{k}{x}\) при \(k = -\dfrac{1}{2}\); \(\dfrac{x}{7}\) — прямая пропорциональность, а у последней функции лишнее слагаемое.
-
График функции \(y = \dfrac{k}{x}\) проходит через точку \((-3;\ 5)\). Найдите \(k\).
Показать ответ
Ответ: -15
\(k = xy = (-3) \cdot 5 = -15\).
-
Какова область определения функции \(y = \dfrac{8}{x}\)?
Показать ответ
Ответ: Б) Все числа, кроме 0
На нуль делить нельзя, при любом другом \(x\) выражение \(\dfrac{8}{x}\) имеет смысл.
-
Какие утверждения о графике функции \(y = \dfrac{k}{x}\) верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Он не пересекает ось x; В) Его ветви симметричны относительно начала координат
Значение \(y\) никогда не равно нулю, а \(x = 0\) не входит в область определения, поэтому гипербола не касается осей и не проходит через начало координат. При \(k > 0\) ветви в I и III четвертях.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Функция задана формулой \(y = \dfrac{15}{x}\). Найдите значение функции при \(x = -3\).
Подсказка
Подставьте \(-3\) вместо \(x\) и разделите.
Решение
\(y = \dfrac{15}{-3} = -5\).
Ответ
График функции \(y = \dfrac{k}{x}\) проходит через точку \((4;\ -2{,}5)\). Найдите \(k\).
Подсказка
Из формулы \(y = \dfrac{k}{x}\) следует, что \(k = xy\).
Решение
Координаты точки графика удовлетворяют формуле, значит, \(-2{,}5 = \dfrac{k}{4}\).
\(k = 4 \cdot (-2{,}5) = -10\).
Ответ
Принадлежит ли графику функции \(y = -\dfrac{12}{x}\) точка \((-0{,}3;\ 40)\)?
Подсказка
Подставьте абсциссу в формулу и сравните результат с ординатой.
Решение
При \(x = -0{,}3\) получаем \(y = -\dfrac{12}{-0{,}3} = \dfrac{12}{0{,}3} = 40\).
Значение совпало с ординатой точки, значит, точка графику принадлежит.
Ответ
Бассейн объёмом 360 м³ наполняют насосом, который подаёт \(p\) м³ воды в час. Выразите время наполнения \(t\) (ч) через \(p\). Сколько часов займёт наполнение при \(p = 45\)? Какой должна быть подача, чтобы наполнить бассейн за 6 ч?
Подсказка
Объём равен подаче, умноженной на время.
Решение
- \(V = 360\) м³
- подача \(p\) м³/ч
- формулу \(t(p)\)
- \(t\) при \(p = 45\)
- \(p\) при \(t = 6\)
\(p \cdot t = 360\), откуда \(t = \dfrac{360}{p}\) — обратная пропорциональность.
При \(p = 45\): \(t = \dfrac{360}{45} = 8\) ч.
При \(t = 6\): \(p = \dfrac{360}{6} = 60\) м³/ч.
Ответ
График функции \(y = \dfrac{k}{x}\) проходит через точку \(A(3;\ -4)\). Проходит ли он через точку \(B(-6;\ 2)\)? В каких координатных четвертях расположен этот график?
Подсказка
Сначала найдите \(k = xy\) по точке \(A\).
Решение
\(k = 3 \cdot (-4) = -12\), функция \(y = -\dfrac{12}{x}\).
При \(x = -6\): \(y = -\dfrac{12}{-6} = 2\) — совпадает с ординатой точки \(B\), значит, график проходит через \(B\).
Так как \(k < 0\), ветви гиперболы лежат во II и IV четвертях.
Ответ
Решите графически уравнение \(\dfrac{4}{x} = x - 3\).
Подсказка
Постройте на одних осях гиперболу \(y = \dfrac{4}{x}\) и прямую \(y = x - 3\) и найдите абсциссы точек пересечения.
Решение
Строим гиперболу \(y = \dfrac{4}{x}\) по точкам \((1;\ 4)\), \((2;\ 2)\), \((4;\ 1)\) и симметричным им \((-1;\ -4)\), \((-2;\ -2)\), \((-4;\ -1)\).
Прямая \(y = x - 3\) проходит через точки \((0;\ -3)\) и \((3;\ 0)\).
Графики пересекаются в точках \((4;\ 1)\) и \((-1;\ -4)\).
Проверка: \(\dfrac{4}{4} = 1 = 4 - 3\); \(\dfrac{4}{-1} = -4 = -1 - 3\). Верно.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите 12 конфет и спросите: сколько достанется каждому, если делить на 1, 2, 3, 4, 6, 12 человек? Запишите пары «людей — конфет» и заметьте, что произведение всегда 12. Это и есть \(y = \dfrac{12}{x}\). Отметьте пары точками на клетчатом листе — получится плавно убывающая кривая, одна ветвь гиперболы.
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему у функции \(y = \dfrac{10}{x}\) нет значения при \(x = 0\)? 2) В каких четвертях лежит график \(y = -\dfrac{3}{x}\) и почему? 3) Как по точке \((2;\ 7)\) найти формулу обратной пропорциональности?
На что обратить внимание. Ребёнок должен рисовать две отдельные ветви, которые не касаются осей, и сначала смотреть на знак \(k\). Если ветви на рисунке упираются в ось или соединены через ноль — значит, смысл области определения ещё не понят.