Задача 1
Построить график функции y = −4 − (x + 2)/(x² + 2x). При каких m прямая y = m не имеет с графиком общих точек?
Решение
Область определения: \(x^2 + 2x = x(x + 2) \ne 0\), то есть \(x \ne 0\), \(x \ne -2\).
Упростим: \(\dfrac{x + 2}{x(x + 2)} = \dfrac{1}{x}\), поэтому \(y = -4 - \dfrac{1}{x}\).
Каждое значение функции на \(4\) меньше, чем у \(y = -\dfrac{1}{x}\). Значит, график — гипербола \(y = -\dfrac{1}{x}\) (ветви во II и IV четвертях), сдвинутая на \(4\) единицы вниз. Её ветви приближаются к прямой \(y = -4\), но не пересекают её. Точка с \(x = -2\) выколота: \(y = -4 + \dfrac{1}{2} = -3{,}5\), точка \((-2; -3{,}5)\).
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-3{,}5\) (выколота) | \(-3\) | \(-2\) | \(-6\) | \(-5\) | \(-4{,}5\) |
Прямая \(y = m\) не имеет с графиком общих точек:
- при \(m = -4\): уравнение \(-4 - \dfrac{1}{x} = -4\) даёт \(\dfrac{1}{x} = 0\) — решений нет;
- при \(m = -3{,}5\): уравнение \(-4 - \dfrac{1}{x} = -3{,}5\) даёт \(x = -2\), а эта точка выколота.
При любом другом \(m\) уравнение \(-4 - \dfrac{1}{x} = m\) имеет корень \(x = -\dfrac{1}{m + 4}\), отличный от \(0\) и \(-2\).
Ответ
После упрощения y = −4 − 1/x; прямая y = m не пересекает график на уровне горизонтальной асимптоты y = −4 и на уровне выколотой точки.
Подробнее — в теме «Функция y = k/x и её график».