Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 264

Дополнительные упражнения к главе I

Задача 1

Условие (кратко)

а) Построить график функции y = (x² − 16)/|x − 4|.

Решение

Область определения: $x \ne 4$ . Числитель: $$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$ .

При $$x > 4$$ : $$|x - 4| = x - 4$$ , и $$y = x + 4$$ .
При $$x < 4$$ : $$|x - 4| = -(x - 4)$$ , и $$y = -(x + 4) = -x - 4$$ .

График состоит из двух лучей:

луч прямой $$y = x + 4$$ при $$x > 4$$ , начинается с выколотой точки $$(4; 8)$$ и идёт вверх, например через $$(6; 10)$$ ;
луч прямой $$y = -x - 4$$ при $$x < 4$$ , заканчивается выколотой точкой $$(4; -8)$$ , проходит через $$(0; -4)$$ и $$(-4; 0)$$ .

Ответ

y = x + 4 при x > 4; y = −x − 4 при x < 4 (два луча, точки (4; 8) и (4; −8) выколоты).

Почему так

Числитель раскладываем как разность квадратов и сокращаем с модулем, раскрытым по знаку x − 4.

Подробнее — в теме «Функция y = k/x и её график».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Построить график функции y = (x² − 25)/(5 + |x|).

Решение

Знаменатель $$5 + |x| > 0$$ при всех $$x$$ , область определения — все числа.

Так как $$x^2 = |x|^2$$ , числитель $$x^2 - 25 = |x|^2 - 25 = (|x| - 5)(|x| + 5)$$ . Сократим:

y = \dfrac{(|x| - 5)(|x| + 5)}{|x| + 5} = |x| - 5.

При $x \ge 0$ : $$y = x - 5$$ .
При $$x < 0$$ : $$y = -x - 5$$ .

График — «галочка» с вершиной $$(0; -5)$$ , проходит через $$(-5; 0)$$ и $$(5; 0)$$ , симметричен относительно оси $$y$$ .

Ответ

y = |x| − 5 — два луча с общей вершиной (0; −5), проходящие через (−5; 0) и (5; 0).

Почему так

Числитель равен |x|² − 25 и раскладывается как разность квадратов, после сокращения остаётся y = |x| − 5.

Подробнее — в теме «Функция y = k/x и её график».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-264/