Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 266

Задача 1

Условие (кратко)

а) Могут ли графики функций y = k/x (k ≠ 0) и y = ax + b пересекаться только в одной точке?

Решение

Могут. Пример: $y = \dfrac{1}{x}$ и горизонтальная прямая $$y = 1$$ ( $$a = 0$$ , $$b = 1$$ ). Уравнение $\dfrac{1}{x} = 1$ имеет единственный корень $$x = 1$$ — одна общая точка $$(1; 1)$$ .

Вообще, любая прямая $$y = b$$ при $b \ne 0$ пересекает гиперболу $y = \dfrac{k}{x}$ ровно в одной точке $x = \dfrac{k}{b}$ .

Ответ

Да, могут; например, y = 1/x и y = 1 пересекаются только в точке (1; 1).

Почему так

Горизонтальная прямая y = b (b ≠ 0) пересекает гиперболу ровно в одной точке x = k/b.

Подробнее — в теме «Функция y = k/x и её график».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Могут ли графики функций y = k/x (k ≠ 0) и y = ax + b пересекаться только в двух точках?

Решение

Могут. Пример: $y = \dfrac{1}{x}$ и $$y = x$$ . Уравнение $\dfrac{1}{x} = x$ равносильно $$x^2 = 1$$ при $x \ne 0$ , корни $$x = 1$$ и $$x = -1$$ . Общие точки $$(1; 1)$$ и $$(-1; -1)$$ .

Ответ

Да, могут; например, y = 1/x и y = x пересекаются в точках (1; 1) и (−1; −1).

Почему так

Прямая y = x пересекает каждую ветвь гиперболы y = 1/x по одному разу.

Подробнее — в теме «Функция y = k/x и её график».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Могут ли графики функций y = k/x (k ≠ 0) и y = ax + b пересекаться в трёх точках?

Решение

Не могут. Абсциссы общих точек — корни уравнения $\dfrac{k}{x} = ax + b$ . Умножив на $x \ne 0$ , получим

\[ax^2 + bx - k = 0.\]

Пусть у него три разных корня $$x_1$$ , $$x_2$$ , $$x_3$$ . Вычтем равенства для $$x_1$$ и $$x_2$$ : $$a(x_1^2 - x_2^2) + b(x_1 - x_2) = 0$$ ; разделив на $x_1 - x_2 \ne 0$ , получим $$a(x_1 + x_2) + b = 0$$ . Так же $$a(x_1 + x_3) + b = 0$$ .

Вычитая, имеем $$a(x_2 - x_3) = 0$$ , значит, $$a = 0$$ , а тогда и $$b = 0$$ . Но при $$a = b = 0$$ уравнение превращается в $$-k = 0$$ , что неверно, так как $k \ne 0$ . Противоречие.

Значит, общих точек не больше двух.

Ответ

Нет, не могут — общих точек не больше двух.

Почему так

Абсциссы общих точек — корни уравнения ax² + bx − k = 0, а при k ≠ 0 у него не больше двух корней.

Подробнее — в теме «Функция y = k/x и её график».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-266/