Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 267

Дополнительные упражнения к главе I

Задача 1

Условие (кратко)

а) Могут ли графики функций y = k/x (k ≠ 0) и y = ax + b пересекаться в двух точках, лежащих в одной четверти?

Решение

Могут. Пример: $y = \dfrac{6}{x}$ и $$y = -x + 5$$ . Проверим точки $$(2; 3)$$ и $$(3; 2)$$ :

$\dfrac{6}{2} = 3$ и $$-2 + 5 = 3$$ — точка $$(2; 3)$$ лежит на обоих графиках;
$\dfrac{6}{3} = 2$ и $$-3 + 5 = 2$$ — точка $$(3; 2)$$ тоже.

Обе точки лежат в I четверти: прямая «срезает» кусок одной ветви гиперболы.

Ответ

Да, могут; например, y = 6/x и y = −x + 5 пересекаются в точках (2; 3) и (3; 2) в I четверти.

Почему так

Прямая с отрицательным наклоном может дважды пересечь одну ветвь гиперболы y = k/x при k > 0.

Подробнее — в теме «Функция y = k/x и её график».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Могут ли графики функций y = k/x (k ≠ 0) и y = ax + b пересекаться в двух точках, лежащих в первой и второй четвертях?

Решение

Не могут. При $$k > 0$$ гипербола $y = \dfrac{k}{x}$ лежит в I и III четвертях, при $$k < 0$$ — во II и IV. Ни при каком $$k$$ у неё нет точек одновременно и в I, и во II четверти.

Значит, общие точки с прямой не могут оказаться одна в I, другая во II четверти.

Ответ

Нет, не могут.

Почему так

Гипербола y = k/x лежит либо в I и III, либо во II и IV четвертях и никогда не бывает одновременно в I и II.

Подробнее — в теме «Функция y = k/x и её график».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Могут ли графики функций y = k/x (k ≠ 0) и y = ax + b пересекаться в двух точках, лежащих в первой и третьей четвертях?

Решение

Могут. Пример: $y = \dfrac{1}{x}$ и $$y = x$$ . Уравнение $\dfrac{1}{x} = x$ даёт $$x^2 = 1$$ , $x = \pm 1$ . Общие точки $$(1; 1)$$ — в I четверти и $$(-1; -1)$$ — в III четверти.

Ответ

Да, могут; например, y = 1/x и y = x пересекаются в точках (1; 1) и (−1; −1).

Почему так

При k > 0 ветви гиперболы лежат в I и III четвертях, и прямая через начало координат пересекает обе.

Подробнее — в теме «Функция y = k/x и её график».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-267/