Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 449

Задача 1

Условие (кратко)

а) Числа a и b рациональные. Является ли рациональным число a + b?

Решение

Да. Пусть $a = \dfrac{m}{n}$ , $b = \dfrac{p}{q}$ ( $$m, p$$ — целые, $$n, q$$ — натуральные). Тогда

a + b = \dfrac{mq + pn}{nq},

где числитель — целое число, знаменатель — натуральное. Значит,

\(a + b\)

рациональное.

Ответ

Да, всегда

Почему так

Сумма двух дробей с целыми числителями и натуральными знаменателями снова такая же дробь.

Подробнее — в теме «Действительные числа».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Числа a и b рациональные. Является ли рациональным число a − b?

Решение

Да. При $a = \dfrac{m}{n}$ , $b = \dfrac{p}{q}$ :

a - b = \dfrac{mq - pn}{nq},

числитель целый, знаменатель натуральный — число рациональное.

Ответ

Да, всегда

Почему так

Разность рациональных чисел записывается дробью с целым числителем и натуральным знаменателем.

Подробнее — в теме «Действительные числа».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Числа a и b рациональные. Является ли рациональным число ab?

Решение

Да. При $a = \dfrac{m}{n}$ , $b = \dfrac{p}{q}$ :

ab = \dfrac{mp}{nq},

числитель целый, знаменатель натуральный — число рациональное.

Ответ

Да, всегда

Почему так

Произведение рациональных чисел — дробь с целым числителем и натуральным знаменателем.

Подробнее — в теме «Действительные числа».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Числа a и b рациональные, b ≠ 0. Является ли рациональным число a/b?

Решение

Да. При $a = \dfrac{m}{n}$ , $b = \dfrac{p}{q}$ , $p \ne 0$ :

\dfrac{a}{b} = \dfrac{m}{n} \cdot \dfrac{q}{p} = \dfrac{mq}{np}.

Числитель и знаменатель — целые числа, знаменатель не равен нулю (если он отрицателен, знак переносим в числитель). Значит, частное рациональное.

Ответ

Да, всегда

Почему так

Деление на ненулевое рациональное число не выводит из множества рациональных чисел.

Подробнее — в теме «Действительные числа».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-2/upr-449/