Коротко о главном
Каждое действительное число записывается бесконечной десятичной дробью. Если дробь периодическая, число рациональное, его можно записать как \(\dfrac{m}{n}\). Если непериодическая — иррациональное. Вместе они образуют множество действительных чисел \(R\).
Подробное объяснение
Представьте, что вы режете пиццу. Половина, треть, три восьмых — всё это дроби \(\dfrac{m}{n}\). Кажется, что такими дробями можно выразить любую длину. Древние греки тоже так думали, пока не измерили диагональ квадрата со стороной \(1\). Оказалось, что её длину нельзя записать ни одной дробью \(\dfrac{m}{n}\).
Знакомые множества чисел
- Натуральные \(N\): \(1, 2, 3, \ldots\) — числа для счёта.
- Целые \(Z\): натуральные, противоположные им и ноль: \(\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\)
- Рациональные \(Q\): числа вида \(\dfrac{m}{n}\), где \(m\) — целое, \(n\) — натуральное. Например, \(\dfrac{2}{7}\), \(-5 = \dfrac{-5}{1}\), \(0{,}3 = \dfrac{3}{10}\).
Каждое следующее множество содержит предыдущее. Знак \(\in\) читается «принадлежит»: \(5 \in N\), \(-5 \notin N\), но \(-5 \in Z\).
Рациональные числа — периодические дроби
Любое рациональное число можно записать бесконечной периодической десятичной дробью. Разделите \(1\) на \(3\) уголком — получите \(0{,}333\ldots = 0{,}(3)\). Цифра \(3\) повторяется бесконечно, это период. Конечная дробь тоже подходит: \(0{,}25 = 0{,}25000\ldots = 0{,}25(0)\), у неё период \(0\). Дроби с периодом \(9\) не используют: \(0{,}(9)\) — другая запись числа \(1\).
Обратно: любая периодическая дробь — рациональное число. Например, \(0{,}(7) = \dfrac{7}{9}\).
Иррациональные числа — непериодические дроби
Бывают бесконечные дроби, в которых никакой блок цифр не повторяется. Например, \(0{,}1010010001\ldots\) — после каждой единицы нулей на один больше. Такие дроби называют непериодическими, а числа — иррациональными («ир» — отрицание: «не рациональные»). Их нельзя записать дробью \(\dfrac{m}{n}\).
Самые известные иррациональные числа — \(\pi = 3{,}14159\ldots\) и длина диагонали единичного квадрата, число, квадрат которого равен \(2\). Если бы оно было несократимой дробью \(\dfrac{m}{n}\), то \(m^2 = 2n^2\) — и \(m\), и \(n\) оказались бы чётными, а это противоречит несократимости.
Действительные числа
Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел \(R\). Каждой точке координатной прямой соответствует ровно одно действительное число, и наоборот. Расстояние между точками \(A(x_1)\) и \(B(x_2)\): \(AB = |x_2 - x_1|\).
Как решать задачи
- Чтобы понять, рационально ли число, посмотрите на его запись: дробь \(\dfrac{m}{n}\), целое число, конечная или периодическая дробь — рациональное; непериодическая бесконечная дробь — иррациональное.
- Чтобы сравнить числа, запишите их десятичными дробями с одинаковым числом знаков. Периодическую дробь «раскройте»: \(1{,}(56) = 1{,}5656\ldots\)
- Сравнивайте поразрядно слева направо, как обычные десятичные дроби.
- Для отрицательных чисел сравните модули: больше то число, у которого модуль меньше.
- В вычислениях замените иррациональные числа приближёнными значениями нужной точности: \(\pi \approx 3{,}14\).
Разобранные примеры
Периодическая дробь — рациональное число
Докажите, что число \(0{,}(18)\) рациональное: запишите его обыкновенной дробью.
Пусть \(x = 0{,}1818\ldots\) Период из двух цифр, поэтому умножим на \(100\) и получим \(100x = 18{,}1818\ldots\)
Вычтем: \(100x - x = 18\), \(99x = 18\), \(x = \dfrac{18}{99} = \dfrac{2}{11}\).
Сравнение отрицательных чисел
Сравните числа \(-0{,}(81)\) и \(-0{,}818\).
Раскроем период: \(0{,}(81) = 0{,}8181\ldots\), а \(0{,}818 = 0{,}8180\).
Модули сравниваем поразрядно: в разряде десятитысячных \(1 > 0\), поэтому \(0{,}8181\ldots > 0{,}818\).
У отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Значит, \(-0{,}(81) < -0{,}818\).
Сумма двух иррациональных чисел
Рациональна ли сумма \(a + b\), где \(a = 0{,}1212212221\ldots\) (группы двоек растут, разделены единицами) и \(b = 0{,}2121121112\ldots\) (группы единиц растут, разделены двойками)?
Оба числа иррациональные: их дроби непериодические. Сложим поразрядно. Там, где у \(a\) стоит \(1\), у \(b\) стоит \(2\), и наоборот. В каждом разряде \(1 + 2 = 3\), переносов нет.
\(a + b = 0{,}3333\ldots = 0{,}(3) = \dfrac{1}{3}\).
Типичные ошибки
\(0{,}33\) — конечная дробь, а \(0{,}(3) = 0{,}3333\ldots\) — бесконечная. Они различаются уже в третьем знаке: \(0{,}(3) > 0{,}33\). В сравнениях из-за этого получают неверный знак.
Перед сравнением раскройте период на несколько знаков: \(0{,}3333\ldots\) и \(0{,}3300\), затем сравнивайте поразрядно.
Рассуждают: «\(4{,}545\ldots > 4{,}45\), значит, \(-4{,}(45) > -4{,}45\)». Но на координатной прямой \(-4{,}(45)\) лежит левее, то есть оно меньше.
Сравните модули, а потом поменяйте знак неравенства: \(4{,}(45) > 4{,}45\), поэтому \(-4{,}(45) < -4{,}45\).
\(3{,}14\) и \(\dfrac{22}{7}\) — лишь приближённые значения. Само число \(\pi = 3{,}14159\ldots\) — бесконечная непериодическая дробь, оно иррационально.
Пишите \(\pi \approx 3{,}14\) со знаком «≈» и помните, что точного представления \(\pi\) в виде дроби \(\dfrac{m}{n}\) нет.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какая из дробей изображает иррациональное число?
Показать ответ
Ответ: В) 0,252252225…, где число двоек между пятёрками растёт
У дроби \(0{,}252252225\ldots\) нет повторяющегося периода, она непериодическая; остальные дроби периодические (конечная дробь — с периодом \(0\)).
-
Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Любое целое число рационально; В) Каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число
Целое \(m = \dfrac{m}{1}\) рационально; \(3{,}14\) — лишь приближение \(\pi\), а само \(\pi\) иррационально; периодическая дробь всегда рациональна.
-
Сколько целых чисел расположено между числами \(-2{,}71\ldots\) и \(1{,}41\ldots\)?
Показать ответ
Ответ: 4
Это числа \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1\).
-
Какое из чисел больше — \(-3{,}(1)\) или \(-3{,}11\)?
Показать ответ
Ответ: Б) −3,11
\(3{,}(1) = 3{,}111\ldots > 3{,}11\); из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше, то есть \(-3{,}11\).
-
Найдите расстояние между точками \(A(-2{,}5)\) и \(B(4{,}1)\) координатной прямой.
Показать ответ
Ответ: 6,6
\(AB = |4{,}1 - (-2{,}5)| = 6{,}6\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Какие из чисел рациональные, а какие иррациональные: \(3{,}(7)\); \(-12\); \(0{,}1010010001\ldots\) (после каждой единицы нулей на один больше); \(\dfrac{5}{9}\)?
Подсказка
Посмотрите, есть ли у десятичной записи повторяющийся период.
Решение
\(3{,}(7)\) — периодическая дробь, рациональное число.
\(-12 = \dfrac{-12}{1}\) — целое, значит, рациональное.
\(\dfrac{5}{9}\) — дробь вида \(\dfrac{m}{n}\), рациональное.
\(0{,}1010010001\ldots\) — нулей между единицами всё больше, период не повторяется. Дробь непериодическая, число иррациональное.
Ответ
Запишите число \(0{,}(4)\) в виде обыкновенной дроби.
Подсказка
Обозначьте \(x = 0{,}444\ldots\) и найдите \(10x - x\).
Решение
Пусть \(x = 0{,}444\ldots\) Тогда \(10x = 4{,}444\ldots\)
\(10x - x = 4\), откуда \(9x = 4\), \(x = \dfrac{4}{9}\).
Ответ
Расположите в порядке возрастания: \(1{,}(2)\); \(1{,}22\); \(1{,}2(1)\); \(1{,}23\).
Подсказка
Выпишите у каждого числа по четыре знака после запятой.
Решение
\(1{,}(2) = 1{,}2222\ldots\), \(1{,}22 = 1{,}2200\), \(1{,}2(1) = 1{,}2111\ldots\), \(1{,}23 = 1{,}2300\).
Сравниваем по разрядам: \(1{,}2111\ldots < 1{,}2200 < 1{,}2222\ldots < 1{,}2300\).
Ответ
Найдите приближённое значение произведения \(ab\), где \(a = 2{,}718\ldots\), \(b = 1{,}414\ldots\), округлив предварительно \(a\) и \(b\) до десятых.
Подсказка
Сначала округлите каждый множитель, потом перемножьте.
Решение
\(a \approx 2{,}7\), \(b \approx 1{,}4\), поэтому \(ab \approx 2{,}7 \cdot 1{,}4 = 3{,}78\).
Ответ
Найдите расстояние между точками \(A(-1{,}(3))\) и \(B(2{,}(6))\) координатной прямой.
Подсказка
Переведите периодические дроби в обыкновенные.
Решение
\(1{,}(3) = 1\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}\), \(2{,}(6) = 2\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3}\).
\(AB = \left|\dfrac{8}{3} - \left(-\dfrac{4}{3}\right)\right| = \dfrac{12}{3} = 4\).
Ответ
Может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом? Приведите пример.
Подсказка
Подберите две непериодические дроби, у которых в каждом разряде цифры дают в сумме одно и то же.
Решение
Может. Возьмём \(a = 0{,}1010010001\ldots\) и \(b = 0{,}0101101110\ldots\) — там, где у \(a\) стоит \(1\), у \(b\) стоит \(0\), и наоборот. Обе дроби непериодические, числа иррациональные.
Складываем по разрядам, переносов нет: в каждом разряде \(1 + 0 = 1\) или \(0 + 1 = 1\).
\(a + b = 0{,}1111\ldots = 0{,}(1) = \dfrac{1}{9}\) — рациональное число.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Дайте ребёнку калькулятор и попросите разделить \(1\) на \(3\), \(1\) на \(7\), \(5\) на \(11\). Цифры после запятой повторяются — это рациональные числа, у них есть период. Потом нарисуйте квадрат со стороной \(1\) и спросите, какой длины его диагональ. Её квадрат равен \(2\), а такого числа среди дробей нет: цифры \(1{,}41421356\ldots\) идут без повтора. Это иррациональное число. Все такие числа вместе — действительные.
Вопросы для проверки понимания: 1) Чем периодическая дробь отличается от непериодической? 2) Рационально ли число \(-7\)? Почему? 3) Что больше: \(-2{,}(5)\) или \(-2{,}55\)?
На что обратить внимание. Ребёнок должен уверенно раскрывать период (\(0{,}(12) = 0{,}1212\ldots\)) и правильно сравнивать отрицательные числа. Если путается, пусть отмечает числа на координатной прямой: правее — значит больше.