а) Указать допустимые значения x в выражении √(x³).
Нужно \(x^3 \ge 0\). Куб имеет тот же знак, что и само число, поэтому \(x^3 \ge 0\) при \(x \ge 0\).
Подкоренное выражение арифметического корня должно быть неотрицательным.
Подробнее — в теме «Квадратные корни. Арифметический квадратный корень».
б) Указать допустимые значения x в выражении √(x⁴).
\(x^4 = (x^2)^2 \ge 0\) при любом \(x\), поэтому выражение имеет смысл при всех \(x\).
Чётная степень любого числа неотрицательна.
Подробнее — в теме «Квадратные корни. Арифметический квадратный корень».
в) Указать допустимые значения x в выражении √(x² + 1).
\(x^2 \ge 0\), значит, \(x^2 + 1 \ge 1 > 0\) при любом \(x\). Выражение имеет смысл при всех \(x\).
Подкоренное выражение всегда положительно.
Подробнее — в теме «Квадратные корни. Арифметический квадратный корень».
г) Указать допустимые значения x в выражении √((4 − x)²).
\((4 - x)^2 \ge 0\) при любом \(x\) как квадрат числа. Выражение имеет смысл при всех \(x\).
Квадрат любого числа неотрицателен.
Подробнее — в теме «Квадратные корни. Арифметический квадратный корень».
д) Указать допустимые значения x в выражении √(−x²).
\(-x^2 \le 0\) при любом \(x\), а нужно \(-x^2 \ge 0\). Оба условия выполняются только при \(-x^2 = 0\), то есть при \(x = 0\).
Число −x² неположительно, поэтому неотрицательным оно бывает только в нуле.
Подробнее — в теме «Квадратные корни. Арифметический квадратный корень».
е) Указать допустимые значения x в выражении √(−x³).
Нужно \(-x^3 \ge 0\), то есть \(x^3 \le 0\). Это выполняется при \(x \le 0\).
Куб отрицательного числа отрицателен, поэтому −x³ ≥ 0 при x ≤ 0.
Подробнее — в теме «Квадратные корни. Арифметический квадратный корень».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-2/upr-462/