Какое утверждение о \sqrt36 верно?

Корень равен 6, потому что знак √ означает неотрицательный корень

Корень равен 6 и −6 одновременно

Корень равен 18, половине числа 36

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Действительные числа

Коротко о главном

Квадратный корень из числа $$a$$ — это число, квадрат которого равен $$a$$ . Арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$ — неотрицательное такое число; из отрицательного числа он не извлекается.

\sqrt{a} = b, \text{ если } b \ge 0 \text{ и } b^2 = a

Подробное объяснение

Нужно выложить плиткой квадратную площадку в 49 м². Какой длины её сторона? Ищем число, которое при умножении само на себя даёт 49. Это 7: $7 \cdot 7 = 49$ . Но и $(-7) \cdot (-7) = 49$ . Для длины отрицательное число не подходит, поэтому сторона равна 7 м.

Квадратный корень

Квадратным корнем из числа $$a$$ называют любое число, квадрат которого равен $$a$$ . Из 49 таких корней два: $$7$$ и $$-7$$ . Из 0 — один: сам 0. А из $$-49$$ — ни одного: квадрат любого числа неотрицателен, получить $$-49$$ нельзя.

Арифметический квадратный корень

Чтобы запись была однозначной, договорились выделить один корень — неотрицательный. Его называют арифметическим квадратным корнем и обозначают знаком $\sqrt{\phantom{a}}$ (знак радикала). Выражение под знаком корня называют подкоренным выражением. Запись $\sqrt{a}$ читают «квадратный корень из $$a$$ ».

Равенство $\sqrt{a} = b$ верно, только если выполнены сразу два условия:

$b \ge 0$ ;
$$b^2 = a$$ .

Например, $\sqrt{0{,}16} = 0{,}4$ : число $$0{,}4$$ неотрицательное и $0{,}4^2 = 0{,}16$ . А вот $\sqrt{0{,}16} = -0{,}4$ — неверно, хотя $(-0{,}4)^2 = 0{,}16$ : нарушено первое условие.

Из определения сразу следует: при $$a < 0$$ выражение $\sqrt{a}$ не имеет смысла. При этом минус перед корнем никому не мешает: $-\sqrt{9} = -3$ , корень извлекается из положительного 9, а потом ставится минус.

Как извлекать корни

Найти корень — значит подобрать число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Помогает таблица квадратов: $$15^2 = 225$$ , значит $\sqrt{225} = 15$ .

С десятичными дробями считают запятые: в квадрате знаков после запятой вдвое больше. Поэтому $\sqrt{0{,}0049} = 0{,}07$ : в $$0{,}0049$$ четыре знака, в ответе — два. Обыкновенную дробь удобно разбирать по частям: $\sqrt{\dfrac{9}{64}} = \dfrac{3}{8}$ , ведь $\left(\dfrac{3}{8}\right)^2 = \dfrac{9}{64}$ . Смешанное число сначала переводят в неправильную дробь.

Уравнения с корнем

Если $\sqrt{A} = b$ и $b \ge 0$ , то $$A = b^2$$ . Так решаются уравнения вида $\sqrt{3x + 1} = 4$ : подкоренное выражение равно $$16$$ , откуда $$x = 5$$ . Если же корень по условию должен равняться отрицательному числу, решений нет: $\sqrt{x} = -2$ не выполняется ни при каком $$x$$ .

Как решать

Если под корнем смешанное число, переведите его в неправильную дробь.
Подберите неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению; проверьте возведением в квадрат.
В выражении с несколькими корнями сначала извлеките каждый корень, потом выполните остальные действия по порядку.
В уравнении оставьте корень в одной части: $\sqrt{A} = b$ .
Если $$b < 0$$ — решений нет. Если $b \ge 0$ — запишите $$A = b^2$$ и решите полученное уравнение.
Подставьте найденный $$x$$ в исходное уравнение и проверьте.

Разобранные примеры

База

Значение выражения с корнями

Условие

Вычислите $0{,}5\sqrt{196} - \sqrt{2{,}25}$ .

Решение

$\sqrt{196} = 14$ , так как $$14^2 = 196$$ ; $\sqrt{2{,}25} = 1{,}5$ , так как $1{,}5^2 = 2{,}25$ .

0{,}5 \cdot 14 - 1{,}5 = 7 - 1{,}5 = 5{,}5.

Ответ: 5,5

Средний

Корень из смешанного числа

Условие

Вычислите $\sqrt{3\dfrac{1}{16}} + \sqrt{\dfrac{1}{4}}$ .

Решение

$3\dfrac{1}{16} = \dfrac{49}{16}$ , поэтому $\sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{7}{4}$ . Далее $\sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$ .

\dfrac{7}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{9}{4} = 2{,}25.

Ответ: 2,25

Сложный

Уравнение с корнем

Условие

Решите уравнение $15 - \sqrt{2x - 3} = 8$ .

Решение

Оставим корень в одной части: $\sqrt{2x - 3} = 15 - 8 = 7$ . Справа неотрицательное число, значит, по определению $$2x - 3 = 7^2 = 49$$ .

$$2x = 52$$ , $$x = 26$$ .

Проверка: $15 - \sqrt{2 \cdot 26 - 3} = 15 - \sqrt{49} = 15 - 7 = 8$ — верно.

Ответ: 26

Типичные ошибки

Пишут, что корень из 25 равен ±5

Почему неверно

Квадратных корней из 25 действительно два — $$5$$ и $$-5$$ . Но знак $\sqrt{\phantom{a}}$ обозначает только арифметический корень, а он по определению неотрицательный.

Как правильно

$\sqrt{25} = 5$ . Если нужны оба числа, квадрат которых равен 25, их записывают как $\sqrt{25}$ и $-\sqrt{25}$ .

Неверно ставят запятую в десятичном корне

Почему неверно

Часто пишут $\sqrt{0{,}9} = 0{,}3$ или $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$ , просто «извлекая корень из цифр». Но $0{,}3^2 = 0{,}09$ , а не $$0{,}9$$ , и $0{,}02^2 = 0{,}0004$ .

Как правильно

Число знаков после запятой под корнем должно быть вдвое больше, чем в ответе: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}2$ , $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$ . Корень из $$0{,}9$$ — нецелое иррациональное число. Ответ всегда проверяйте возведением в квадрат.

Решают уравнение √x = −4

Почему неверно

Возводят обе части в квадрат и получают $$x = 16$$ . Но $\sqrt{16} = 4$ , а не $$-4$$ : арифметический корень не бывает отрицательным.

Как правильно

Прежде чем возводить в квадрат, посмотрите на знак правой части. Если она отрицательна, решений нет. И всегда делайте проверку подстановкой.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Вычислите $\sqrt{0{,}49} + \sqrt{144}$ .

Подсказка

Подберите неотрицательные числа, квадраты которых равны $$0{,}49$$ и $$144$$ .

Решение

$\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ , так как $0{,}7^2 = 0{,}49$ ; $\sqrt{144} = 12$ , так как $$12^2 = 144$$ . Сумма $$0{,}7 + 12 = 12{,}7$$ .

Ответ

12,7

База Задача 2

Вычислите $2\sqrt{1\dfrac{9}{16}}$ .

Подсказка

Запишите смешанное число неправильной дробью.

Решение

$1\dfrac{9}{16} = \dfrac{25}{16}$ , $\sqrt{\dfrac{25}{16}} = \dfrac{5}{4}$ , так как $\left(\dfrac{5}{4}\right)^2 = \dfrac{25}{16}$ . Тогда $2 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$ .

Ответ

2,5

Средний Задача 3

Решите уравнение $\sqrt{2x + 7} = 5$ .

Подсказка

По определению корня подкоренное выражение равно $$5^2$$ .

Решение

По определению арифметического корня $$2x + 7 = 5^2 = 25$$ .

$$2x = 18$$ , $$x = 9$$ .

Проверка: $\sqrt{2 \cdot 9 + 7} = \sqrt{25} = 5$ .

Ответ

9

Средний Задача 4

Найдите значение выражения $4\sqrt{x} - x$ при $$x = 0{,}25$$ .

Подсказка

Сначала найдите $\sqrt{0{,}25}$ .

Решение

$\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ , поэтому $4 \cdot 0{,}5 - 0{,}25 = 2 - 0{,}25 = 1{,}75$ .

Ответ

1,75

Сложный Задача 5

Решите уравнение $10 - \sqrt{4x + 1} = 7$ .

Подсказка

Сначала найдите, чему равен сам корень.

Решение

$\sqrt{4x + 1} = 10 - 7 = 3$ . Число $$3$$ неотрицательное, поэтому решение есть.

$$4x + 1 = 3^2 = 9$$ , $$4x = 8$$ , $$x = 2$$ .

Проверка: $10 - \sqrt{9} = 10 - 3 = 7$ .

Ответ

2

Сложный Задача 6

При каких натуральных $$n$$ значение выражения $\sqrt{20 - n}$ является натуральным числом?

Подсказка

Подкоренное выражение должно быть точным квадратом натурального числа и не больше $$19$$ .

Решение

Так как $n \ge 1$ , то $20 - n \le 19$ . Корень натуральный, если $$20 - n$$ — квадрат натурального числа: $$1$$ , $$4$$ , $$9$$ или $$16$$ .

$$20 - n = 1$$ , $$n = 19$$ ; $$20 - n = 4$$ , $$n = 16$$ ; $$20 - n = 9$$ , $$n = 11$$ ; $$20 - n = 16$$ , $$n = 4$$ .

Ответ

4; 11; 16; 19

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в клетку и попросите нарисовать квадрат из 36 клеток. Какой длины сторона? Шесть клеток. Это и есть $\sqrt{36} = 6$ : корень отвечает на вопрос «какое число в квадрате дало это». Затем спросите, какое ещё число в квадрате даёт 36 ( $$-6$$ ), и объясните, что знак √ договорились использовать только для неотрицательного ответа.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему $\sqrt{-9}$ не имеет смысла, а $-\sqrt{9}$ имеет? 2) Чему равен $\sqrt{0{,}01}$ ? 3) Есть ли решение у уравнения $\sqrt{x} = -1$ ?

На что обратить внимание. Ребёнок должен проверять каждый извлечённый корень возведением в квадрат — это сразу ловит ошибки с запятой. Хорошо бы помнить квадраты чисел от 1 до 20: на них держится вся глава о корнях.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 11	289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311