Задание 468

Корни уравнения — абсциссы общих точек графика \(y = \sqrt{x}\) и прямой \(y = x + b\). Все такие прямые параллельны прямой \(y = x\), а \(b\) — точка пересечения с осью \(y\).

Сдвигаем прямую вверх-вниз:

• при \(b < 0\) прямая начинается ниже начала координат и пересекает ветвь \(y = \sqrt{x}\) ровно один раз;
• при \(b = 0\) прямая \(y = x\) проходит через точки \((0; 0)\) и \((1; 1)\) — два корня;
• при небольших \(b > 0\) прямая по-прежнему пересекает кривую дважды;
• при некотором \(b\) прямая касается кривой (одна общая точка), а выше — проходит над кривой, корней нет.

Найдём это значение. Обозначим \(t = \sqrt{x}\), \(t \ge 0\). Тогда \(x = t^2\) и уравнение принимает вид \(t = t^2 + b\), то есть

Наибольшее значение \(b\) равно \(\dfrac{1}{4}\) и достигается при \(t = \dfrac{1}{2}\), \(x = \dfrac{1}{4}\): прямая \(y = x + \dfrac{1}{4}\) касается графика в точке \(\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{2}\right)\). При \(0 \le b < \dfrac{1}{4}\) подходят два значения \(t \ge 0\), при \(b < 0\) — одно (\(t > 1\)), при \(b > \dfrac{1}{4}\) — ни одного.

Корни — абсциссы общих точек графика \(y = \sqrt{x}\) и прямой \(y = -x + b\).

Функция \(y = \sqrt{x}\) возрастает и принимает значения от \(0\), а функция \(y = -x + b\) убывает. Возрастающая и убывающая функции могут иметь не больше одной общей точки.

• При \(b \ge 0\) в точке \(x = 0\) прямая не ниже кривой (\(b \ge 0 = \sqrt{0}\)), а при больших \(x\) — ниже неё. Значит, графики пересекаются ровно один раз (при \(b = 0\) — в начале координат).
• При \(b < 0\) прямая при всех \(x \ge 0\) лежит ниже оси \(x\): \(-x + b < 0 \le \sqrt{x}\). Общих точек нет.